lineare Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:19 Di 14.06.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo ihr lieben kann mir jemand zu dieser Aufgabe ein paar tipps geben Danke
Es sei [mm] R^2->R^2 [/mm] eine lineare Abbildung mit der Matrix [mm] A_L=\begin{matrix}
3 & 1 \\
-1 & 2
\end{matrix} [/mm] in der kanonischen Basis E={(1,0),(0,1)} von [mm] R^2
[/mm]
a) Geben sie die Matrix [mm] A_L^-^1 [/mm] der inversen Abbildung [mm] L^-^1:R^2->R^2 [/mm] in der kanonischen Basis E an falls L^-^1 existiert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:32 Di 14.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo mausi!
Bezüglich der Standardbasis gilt (auch bezüglich anderer Basen, wenn man sie fest wählt):
[mm] $A_{L^{-1}} [/mm] = [mm] (A_L)^{-1}$.
[/mm]
Du musst deine gegebene $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrix also nur invertieren.
Das ist bei einer [mm] $2\times [/mm] 2$-Matrix sehr einfach; es gilt:
[mm] $\pmat{ a & b \\ c & d}^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{ad-bc} \pmat{ d & -b \\ -c & a}$.
[/mm]
Wie also lautet dein Ergebnis?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 Di 14.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Ohhhh,
sorry Stefan - eigentlich wollte ich nur eine Mitteilung schreiben, bin auf den falschen Button gekommen 
nun zur eigentlichen Frage:
Darf ich das Beispiel im entspr. Beitrag der Hochschul-FAQ in der Datenbank hiermit ersetzen?
(von wegen Einheitsmatrix daneben und so)
Ich finde nämlich sowohl die Gestaltung als auch das Beispiel schlecht gewählt - hier würde man mehr sehen...
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:01 Di 14.06.2005 | | Autor: | Stefan |
Lieber Andreas!
Natürlich darfst du das, was sollte ich auch dagegen haben?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:46 Di 14.06.2005 | | Autor: | mausi |
oki danke hab der Matrix die Einheitsmatrix gegenübergestellt und
[mm] \begin{matrix}
2/7 & -1/7 \\
1/7 & 3/7
\end{matrix} [/mm] rausbekommen stimmt das so???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:48 Di 14.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
ja das stimmt.
Es ist bald der Artikel fertig mit diesem Beispiel - ich poste dann den Link.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:08 Di 14.06.2005 | | Autor: | mausi |
wie schreib ich denn nun das Ergebnis richtig auf?einfach nur [mm] A_L^-^1=\begin{matrix}
2/7 & -1/7 \\
1/7 & 3/7
\end{matrix} [/mm] ???
b) Geben die die Matrix [mm] A_L(Schlange) [/mm] von L bezüglich der neuen Basen B und C an B={(1,2),(1,0)},C={(1,1),(2,1)}so dass durch jeden Vektor [mm] v_B [/mm] in der Basis B sein Bild [mm] L(v_B)=A_L(Schlange)*v_B [/mm] in der Basis C zugeordnet wird
was muss ich denn da machen bitte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:28 Di 14.06.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo nochmal,
hier noch der Link zu dem erneuerten Artikel:  MatrixInvertierungGaussJordan
So, zu deienr neuen Aufgabe: weißt du denn, was Transformationsmatrizen sind?
Also gegeben hast du deine Abbildung durch die Matrix A in Standardbasen, gesucht ist jetzt dein [mm] A_L [/mm] (Schlange) - ich nenne diese Matrix mal X , dann ist $ [mm] X=(M_C)^{-1}\cdot{}A\cdot{}M_B [/mm] $
[mm] M_B [/mm] ist jetzt die Matrix, die einen Vektor, der in Basisgestalt B gegeben ist in den selben Vektor umwandelt nur in Standardbasis.
D.H. :wenn ich ganz rechts einen Vektor in neuer Basisgestalt B reinstecke, dann soll [mm] M_B [/mm] diesen Vektor nur in Standardbasis umwandeln - in dieser Darstellung wird der Vektor nun in A reingesteckt und liefert das Bild in Standardbasis - dieser Bildvektor muss nun noch durch $ [mm] (M_C)^{-1} [/mm] $ in Basisgestalt C umgewandelt werden.
du musst also nur [mm] M_B [/mm] berechnen (dies ist sehr einfach, wenn du bedenkst, dass die Spalten hiervon die Vektoren von B in Standardbasis sein sollen)
[mm] M_C [/mm] ist genauso einfach zu brechechnen, jedoch musst du dies noch invertieren [wie in a) ].
Zum Schluß dann einfach das Produkt berechnen.
Ich hoffe, dir ist das Vorgehen klar ansonsten schaue dir bitte nochmal das Thema über TrafoMatrizen an.
viele Grüße
DaMenge
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