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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:23 Do 17.11.2005 | | Autor: | Alias |
Hallo!
Leider kann ich folgende Aufgabe nicht lösen.
Kann mir bitte jemand dabei helfen?
Aufgabe:
Sei <*,*>: V x V --> [mm] \IR [/mm] ein Skalarprodukt auf
einem Vektorraum V. Sei e [mm] \in [/mm] V ein beliebiger
Vektor. Zeige, dass die Abbildung L: V --> [mm] \IR
[/mm]
gegeben durch L(v) = <v,e> linear ist.
Ich kenne zwar
T(U+V)=T(U)+T(V)
T(cU)=cT(U)
hab aber leider keine Ahnung wie ich das hier
Anwenden soll.
Vielen Dank
Alias
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> Hallo!
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> Leider kann ich folgende Aufgabe nicht lösen.
> Kann mir bitte jemand dabei helfen?
>
> Aufgabe:
> Sei <*,*>: V x V --> [mm]\IR[/mm] ein Skalarprodukt auf
> einem Vektorraum V. Sei e [mm]\in[/mm] V ein beliebiger
> Vektor. Zeige, dass die Abbildung L: V --> [mm]\IR[/mm]
> gegeben durch L(v) = <v,e> linear ist.
>
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> Ich kenne zwar
>
> T(U+V)=T(U)+T(V)
> T(cU)=cT(U)
>
> hab aber leider keine Ahnung wie ich das hier
> Anwenden soll.
Hallo,
Du mußt für beliebige u,v [mm] \in [/mm] V und c [mm] \in \IR [/mm] zeigen, daß
=L(u)+L(v)
und L(cu)=cL(u) gilt.
Soviel ist dir auch noch klar, oder?
Seien also u,v [mm] \in [/mm] V und c [mm] \in \IR.
[/mm]
Es ist
L(u+v)= [ Jetzt mußt Du nachgucken, wie L(x) definiert ist: aha, Skalarprodukt von x und e, <x,e>, also)
= <u+v,x> [Nun mußt du ein bißchen etwas übers Skalarprodukt wissen. Bilinear, nicht wahr?]
= <u,x>+<v,y> =...
Die andere Bedingung wirst du nun selber schaffen.
Gruß v. Angela
>
> Vielen Dank
> Alias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Do 17.11.2005 | | Autor: | Alias |
Hi!
Danke erst mal. Was ich zu zeigen hab
ist einigermaßen klar. Ich konnte
Aufgaben wie etwa
[mm] F:\IR^{3}->\IR^{3} [/mm] , F(X)=X+(0,-1,0)
[mm] F:\IR^{2}->\IR^{2} [/mm] , F(x,y)=(2x+y,y)
lösen, jedoch hab ich für aktuelle
Aufgabe immer noch keinen Plan! Keine
Ahnung woran es liegt. Evtl. findest
Du noch andere Worte es mir näher zu
bringen.
Grüße Alias
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> Hi!
>
> Danke erst mal. Was ich zu zeigen hab
> ist einigermaßen klar. Ich konnte
> Aufgaben wie etwa
>
> [mm]F:\IR^{3}->\IR^{3}[/mm] , F(X)=X+(0,-1,0)
> [mm]F:\IR^{2}->\IR^{2}[/mm] , F(x,y)=(2x+y,y)
>
> lösen, jedoch hab ich für aktuelle
> Aufgabe immer noch keinen Plan! Keine
> Ahnung woran es liegt. Evtl. findest
> Du noch andere Worte es mir näher zu
> bringen.
Du wirst dich, da L mithilfe des Skalarproduktes definiert ist, mit den Eigenschaften des Skalarproduktes vertraut machen müssen. Bist Du mit
L(u+v) weitergekommen? Hast Du die ersten Schritte verstanden?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Do 17.11.2005 | | Autor: | Alias |
Hallo Angela.
Ich habe natürlich mittlerweile im Buch (Anton) nachgeschlagen,
und etwas gefunden. Ich schau mir das mal in Ruhe an und
probier die Aufgabe dann noch mal. Ich hatte versucht das
Skalarprodukt aszuschreiben. Also
L(v) = [mm] v_{1}e_{1}+v_{2}+e_{2}+...+v_{n}e_{n} [/mm] und
wollte dann hierauf L(v+u) anweden. Das hatte mehr Ähnlichkeit
mit den Aufgaben die ich vorher lösen sollte, jedoch hat es mich
irgendwie nicht zum Ziel geführt.
Wenn's nicht klappt meld ich mich wieder.Danke!
Alias
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> Hallo Angela.
>
> Ich habe natürlich mittlerweile im Buch (Anton)
> nachgeschlagen,
> und etwas gefunden. Ich schau mir das mal in Ruhe an und
> probier die Aufgabe dann noch mal. Ich hatte versucht das
> Skalarprodukt aszuschreiben.
Das brauchst Du gar nicht! Du mußt nur ein bißchen was übers Skalarprodukt wissen, als da wäre z.B. (und ganz wichtig) bilinear, d.h. linear im ersten und zweiten Argument.
Das bedeutet < x+y,z>= <x,z>+ <y,z> und <kx,z>=k<x,z> (linear im 1.Argument)
und <x,y+z>=<x,y> +<x,z> und <x,ky>=k<x,y> (linear im 2. Argument)
Für deine Aufgabe brauchst Du nur die Linearität im ertsen Argument.
Es ist doch L(x+y)=<x+y,e>= <x,e>+<y,e>=L(x)+L(y).
Es ist viel einfacher, als Du denkst!
Gruß v. Angela
Also
>
> L(v) = [mm]v_{1}e_{1}+v_{2}+e_{2}+...+v_{n}e_{n}[/mm] und
>
> wollte dann hierauf L(v+u) anweden. Das hatte mehr
> Ähnlichkeit
> mit den Aufgaben die ich vorher lösen sollte, jedoch hat
> es mich
> irgendwie nicht zum Ziel geführt.
>
> Wenn's nicht klappt meld ich mich wieder.Danke!
> Alias
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