lineare Abb, Kern, Bild < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 So 27.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hallo,
die folgende Aufgabe ist zu bearbeiten:
Für [mm] n\in \IN [/mm] bezeichne [mm] \IR[x]_{\le n} [/mm] den Untervektorraum der Polynome vpm Grad [mm] \le [/mm] n des [mm] \IR-Vektorraums Abb(\IR, \IR), [/mm] d.h. [mm] \IR[x]_{ \le n} [/mm] ist die Menge der Funktionen f: [mm] \IR \to \IR [/mm] für die es reelle Zahlen [mm] a_{0}, a_{1}, [/mm] ..., [mm] a_{n} [/mm] gibt, so dass
[mm] f(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0} \forall [/mm] x [mm] \in \IR
[/mm]
(a) Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung linear ist:
D: [mm] \IR[x]_{\le n} \to \IR[x]_{\le n}, f(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}\mapsto [/mm] f '(x)= [mm] na_{n}x^{n-1}+...+2a_{2}x+a_{1}
[/mm]
(b) Bestimmen Sie Kern (D) und geben Sie eine Basis von Kern (D) an.
(c) Bestimmen Sie Bild (D) und geben Sie eine Basis von Bild(D) an.
Zu a) habe ich mir folgendes überlegt:
Es bezeichne [mm] \mu [/mm] die gegebene Abbildung
Zu zeigen:
[mm] \mu(\lambda_{1}f+\lambda_{2}f ')=\lambda_{1}\mu(f)+\lambda_{2}\mu(f [/mm] ')
Beweis:
[mm] \mu(\lambda_{1}f+\lambda_{2}f [/mm] ')= [mm] (\lambda_{1}f +\lambda_{2}f [/mm] ')(x)
[mm] =(\lambda_{1}f)(x)+ (\lambda_{2}f [/mm] ')(x)
[mm] =\lambda_{1}f(x)+ \lambda_{2}f [/mm] '(x)
= [mm] \lambda_{1}\mu(f)+\lambda_{2}\mu(f [/mm] ')
Q.E.D
Zu b) und c) habe ich leider keinen Ansatz. Ich weiß weder, wie ich den Kern(D) und das Bild(D) bestimmen soll, noch wie ich eine geeignete Basis angeben kann.
Als Kern bezeichnet man die Menge der Vektoren aus f, die durch [mm] \mu [/mm] auf den Nullvektor von f ' abgebildet werden.
Wie ermittel ich dann den Kern? Verstehe das nicht so richtig bei der Abbildung [mm] f(x)=a_{n}x^{n}+...+a_{1}x+a_{0}\mapsto [/mm] f '(x)= [mm] na_{n}x^{n-1}+...+2a_{2}x+a_{1}...
[/mm]
Wie geht das Ganze bei dem Bild?
Herzlichen Dank im Voraus:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:43 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo!
> Beweis:
> $ [mm] \mu(\lambda_{1}f+\lambda_{2}f [/mm] $ ')= $ [mm] (\lambda_{1}f +\lambda_{2}f [/mm] $ ')(x)
> $ [mm] =(\lambda_{1}f)(x)+ (\lambda_{2}f [/mm] $ ')(x)
> $ [mm] =\lambda_{1}f(x)+ \lambda_{2}f [/mm] $ '(x)
> = $ [mm] \lambda_{1}\mu(f)+\lambda_{2}\mu(f [/mm] $ ')
Das kann ich nicht nachvollziehen.
Zu zeigen ist folgendes: sind [mm] $f,g\in \IR[x]_{\leq n}$ [/mm] und [mm] $\lambda_1,\lambda_2\in\IR$, [/mm] so ist [mm] $\mu(\lambda_1 f+\lambda_2 g)=\lambda_1\mu(f)+\lambda_2\mu(g)$. [/mm] Genau dann sind zwei gleich, wenn sie in jedem Bild übereinstimmen. Sei also [mm] $x\in\IR$ [/mm] beliebig gewählt. Wir zeigen, dass [mm] $(\mu(\lambda_1 f+\lambda_2 g))(x)=(\lambda_1\mu(f)+\lambda_2\mu(g))(x)$ [/mm] gilt. Nach Voraussetzung existieren nun [mm] $a_i,b_i,i=0,1,2,...,n$ [/mm] mit [mm] $f(x)=\summe_{i=0}^{n} a_i x^i, g(x)=\summe_{i=0}^{n} b_i x^i$. [/mm] Dann ist [mm] $(\lambda_1 f)(x)=\summe_{i=0}^{n} (\lambda_1 a_i) x^i, (\lambda g)(x)=\summe_{i=0}^{n} (\lambda_2 b_i) x^i$ [/mm] und [mm] $(\lambda_1 f+\lambda_2 g)(x)=\summe_{i=0}^{n} (\lambda_1 a_i) x^i+\summe_{i=0}^{n} (\lambda_2 b_i) x^i=\summe_{i=0}^{n} (\lambda_1 a_i+\lambda_2 b_i) x^i$. [/mm] Also ist [mm] $(\mu(\lambda_1 f+\lambda_2 g))(x)=\summe_{i=0}^{n-1} (i+1)(\lambda_1 a_{i+1}+\lambda_2 b_{i+1}) x^i=\summe_{i=0}^{n-1} (i+1)(\lambda_1 a_{i+1}) x^i [/mm] + [mm] \summe_{i=0}^{n-1} (i+1)(\lambda_2 b_{i+1}) x^i=\lambda_1\summe_{i=0}^{n-1} [/mm] (i+1) [mm] a_{i+1} x^i+\lambda_2\summe_{i=0}^{n-1} [/mm] (i+1) [mm] b_{i+1} x^i [/mm] = [mm] (\lambda_1\mu(f)+\lambda_2\mu(g))(x)$. [/mm]
Klar?
Liebe Grüße,
Hanno
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 18:57 Mo 28.11.2005 | | Autor: | Niente |
Hi Hanno,
vielen Dank für deine Antwort.
Leider habe ich den Schluss nicht ganz verstanden...
> Also ist [mm](\mu(\lambda_1 f+\lambda_2 g))(x)=\summe_{i=0}^{n-1} (i+1)(\lambda_1 a_{i+1}+\lambda_2 b_{i+1}) x^i=\summe_{i=0}^{n-1} (i+1)(\lambda_1 a_{i+1}) x^i + \summe_{i=0}^{n-1} (i+1)(\lambda_2 b_{i+1}) x^i=\lambda_1\summe_{i=0}^{n-1} (i+1) a_{i+1} x^i+\lambda_2\summe_{i=0}^{n-1} (i+1) b_{i+1} x^i = (\lambda_1\mu(f)+\lambda_2\mu(g))(x)[/mm].
Warum hast du da eine Indexverschiebung (falls es überhaupt eine ist) gemacht? Kann man über dem Summenzeichen nicht einfach n stehen lassen?
Hast du vielleicht auch noch einen Tipp, wie ich an (b) und (c) herangehen kann? Verstehe einfach nicht, was ich machen soll.
Vielen Dank schon einmal;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:28 Fr 02.12.2005 | | Autor: | matux |
Hallo Niente!
Leider konnte Dir keiner hier mit Deinem Problem / Deiner Rückfrage in der von Dir vorgegebenen Zeit weiterhelfen.
Vielleicht hast Du ja beim nächsten Mal mehr Glück ![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]") .
Viele Grüße,
Matux, der Foren-Agent
Allgemeine Tipps wie du dem Überschreiten der Fälligkeitsdauer entgegenwirken kannst findest du in den Regeln für die Benutzung unserer Foren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:55 Sa 03.12.2005 | | Autor: | Niente |
hallo,
es wäre nett, wenn mir jemand nochmal die von Hanno gemachten Rechenschritte ab n-1 oberhalb des Summenzeichens erklären konnte. n-1 kommt sicherlich von der Ableitung, aber ich habe die Veränderungen an den Indices nicht verstanden.
Vielen Dank und liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Mo 05.12.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Niente!
Was passiert denn, wenn du
$p(x) = [mm] a_0 [/mm] + a_1x + [mm] a_2x^2 [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_nx^n$
[/mm]
ableitest (hier stimmt der Index immer mit dem Exponenten von $x$ überein)?
Du erhältst doch
$p'(x) = [mm] a_1 [/mm] + 2a_2x + [mm] \ldots [/mm] + [mm] na_nx^{n-1}$
[/mm]
(hier istder Index immer um $1$ größer also der Exponent von $x$).
Jetzt schreibe das mal mit dem Summenzeichen, und du bist fertig:
$p'(x) [mm] =\sum\limits_{i=0}^{n-1} [/mm] (i+1) [mm] \cdot a_{i+1}x^i$.
[/mm]
Probiere es aus...
Liebe Grüße
Julius
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