lineare Abb. sind konvex < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:34 So 27.04.2008 | | Autor: | SpoOny |
| Aufgabe | f: [mm] \IR^{n} \to \IR [/mm] mit f(0)=0
zeige: f linear [mm] \gdw [/mm] f und -f konvex |
Guten Morgen,
bin etwas ratlos...
[mm] \Rightarrow
[/mm]
f konvex bedeutet ja [mm] f(x+\lambda [/mm] (y-x)) [mm] \le f(x)+\lambda [/mm] (f(y)-f(x))
nun kann ich ja mit der Voraussetzung, dass f linear ist schon so einen Ausdruck hinschreiben,
aber nur mit einem = statt einem [mm] \le
[/mm]
wie schreib ich das also richtiger auf?
[mm] \Leftarrow
[/mm]
Kann ich irgendwie über den epi(f) zeigen, dass f linear ist oder ist das zu kompliziert gedacht?
Ich versteh auch nicht ganz wie ich f und -f konvex da unterbringen kann, ich denke mal es hat was mit negativen/positiven Skalaren zu tun.
Liebe Grüße
SpoOny
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:34 So 27.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\Rightarrow[/mm]
>
> f konvex bedeutet ja [mm]f(x+\lambda[/mm] (y-x)) [mm]\le f(x)+\lambda[/mm]
> (f(y)-f(x))
>
> nun kann ich ja mit der Voraussetzung, dass f linear ist
> schon so einen Ausdruck hinschreiben,
> aber nur mit einem = statt einem [mm]\le[/mm]
Ja und? Wenn es gleich ist, ist es doch sicher auch kleiner gleich bzw. größer gleich. Was heißt denn linear genau?
> wie schreib ich das also richtiger auf?
Mach erstmal einen Versuch, dne wir dann ansachauen können.
> Kann ich irgendwie über den epi(f) zeigen, dass f linear
> ist oder ist das zu kompliziert gedacht?
Was ist der epi?
> Ich versteh auch nicht ganz wie ich f und -f konvex da
> unterbringen kann, ich denke mal es hat was mit
> negativen/positiven Skalaren zu tun.
Du hast die obige Gleichung einmal mit f und einmal mit -f - die zweite multiplizierts du mit -1 - was ergeben die Ungleichungen dann zusammen? Wie musst du jetzt [m]f(0)=0[/m] ausnutzen?
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:06 So 27.04.2008 | | Autor: | SpoOny |
Danke für die Antwort
[mm] \Rightarrow
[/mm]
f linear
zu zeigen: [mm] f(x+\lambda [/mm] (y-x)) [mm] \le f(x)+\lambda [/mm] (f(y)-f(x))
seien [mm] x,y\varepsilon \IR^{n} [/mm] und [mm] \lambda \varepsilon[0,1] [/mm] gegebn
Dann gilt wegen der Linearität:
[mm] f(x+\lambda(y-x))=f(x) [/mm] + [mm] f(\lambda(y-x))=f(x) +\lambda(f(y-x))
[/mm]
= [mm] f(x)+\lambda(f(y)-f(x))
[/mm]
also gilt auch [mm] f(x+\lambda(y-x)) \le f(x)+\lambda(f(y)-f(x))
[/mm]
[mm] \Leftarrow [/mm] (der epi(f) ist der Epigraph)
> Du hast die obige Gleichung einmal mit f und einmal mit -f
> - die zweite multiplizierts du mit -1 - was ergeben die
> Ungleichungen dann zusammen? Wie musst du jetzt [m]f(0)=0[/m]
> ausnutzen?
Also es gilt für [mm] x,y\varepsilon \IR^{n} [/mm] und [mm] \lambda \varepsilon[0,1]
[/mm]
I. [mm] f(x+\lambda(y-x)) \le f(x)+\lambda(f(y)-f(x)) [/mm] und
II. [mm] -f(x+\lambda(y-x)) \le -f(x)+\lambda(f(x)-f(y))
[/mm]
I+II ergibt dann 0 [mm] \le \lambda(f(y)-f(x)) [/mm] + [mm] \lambda(f(x)-f(y))
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le \lambda [/mm] (f(y) - f(y) + f(x)-f(x))
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le \lambda [/mm] (0 + 0)
[mm] \Rightarrow [/mm] 0 [mm] \le [/mm] 0
und das ist ne wahre Aussage, aber ich hab keine Linearität gezeigt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 So 27.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> und das ist ne wahre Aussage, aber ich hab keine Linearität
> gezeigt.
Betrachte (-1)*II - was passiert mit der Ungleichung? (Du solltest dir schon klar machen, das Lineraität quasi Gleichheit in dieser Ungleichung durch Konvexität ist)
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 So 27.04.2008 | | Autor: | SpoOny |
Ach ja (-: danke schön
I. [mm] f(x+\lambda(y-x) \le f(x)+\lambda(f(y)-f(x))
[/mm]
-1II- [mm] f(x+\lambda(y-x) \ge f(x)-\lambda(f(x)-f(y)) [/mm] = [mm] f(x)+\lambda(f(y)-f(x))
[/mm]
daraus folgt Gleichheit und daraus wiederum mit der Bedingung f(0)=0 Linearität.
sind jetzt so beide Richtungen gezeigt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:28 So 27.04.2008 | | Autor: | SEcki |
> daraus folgt Gleichheit und daraus wiederum mit der
> Bedingung f(0)=0 Linearität.
Wenn dir das klar ist, gut. (Sonst: setze x=0 ein :))
> sind jetzt so beide Richtungen gezeigt?
Ja.
SEcki
|
|
|
|
