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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:36 Mi 05.03.2008 | | Autor: | timako |
| Aufgabe | | Geben Sie eine lineare Abbildung T: [mm] \IR^{4} \to \IR^{3} [/mm] an, deren Kern durch die Vektoren [mm] (1,2,3,4)^{T} [/mm] und [mm] (0,1,1,1)^{T} [/mm] erzeugt wird. |
Hallo liebes Forum,
gesucht ist ja [mm] T(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}.
[/mm]
Bekannt ist:
Kern(T) = [mm] span\{(1,2,3,4)^{T}, (0,1,1,1)^{T}\} [/mm] = [mm] \{\vec{x} \in \IR^{4} | T(\vec{x}) = \vec{0}\}
[/mm]
Das EZS liefert mir jedes Element von Kern(T) als Linearkombination:
[mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \lambda_{1}\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] + [mm] \lambda_{2}\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{\lambda_{1} \\ 2\lambda_{1} + \lambda_{2} \\ 3\lambda_{1} + \lambda_{2} \\ 4\lambda_{1} + \lambda_{2}} [/mm] , [mm] \lambda \in \IR
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] T(\vektor{\lambda_{1} \\ 2\lambda_{1} + \lambda_{2} \\ 3\lambda_{1} + \lambda_{2} \\ 4\lambda_{1} + \lambda_{2}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Ist jetzt eine lineare Abbildung z.B. [mm] T_{1}(\vec{x}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ 2x_{1} + x_{2} \\ 3x_{1} + x_{2}} [/mm] oder [mm] T_{2}(\vec{x}) [/mm] = [mm] \vektor{2x_{1} + x_{2} \\ 3x_{1} + x_{2} \\ 4x_{1} + x_{2}} [/mm] ?
Oder bin ich hier völlig auf dem Holzweg?
Gruß,
T.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mi 05.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ne lineare Abb. wird nicht durch nen Vektor, sondern durch ne Matrix gegeben. wenn der Kern die dimension 2 hat, welche Dimension hat die matrix?
Was weisst du über die Zeilen deiner Matrix?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:09 Do 06.03.2008 | | Autor: | timako |
Danke für den Hinweis!
Also ist [mm] T(\vec{x}) [/mm] = [mm] A\vec{x}
[/mm]
A ist 3x4 Matrix
Der dimensions - Begriff wurde in den Vorlesungen nicht eingeführt, allerdings ist mir bekannt dass die dimension die Anzahl der Basisvektoren eines Vektorraumes bezeichnet.
Hier habe ich 2 Basisvektoren.
Entsprechen die Zeilen meiner Matrix den Basisvektoren (warum)?
Füge ich nun den Nullvektor oder den Einheitsvektor in der letzten Zeile der Matrix hinzu?
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] A\vec{x} [/mm] = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 }\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] oder [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}
[/mm]
Gruß,
T.
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Hallo. Ihr hattet doch bestimmt schon in der Vorlesung die Formel [mm] \dim [/mm] V= [mm] \dim \Im(A)+\dim [/mm] Ker(A), wobei A eine Lineare Abbildung von V [mm] \rightarrow [/mm] W ist.
Der Kern hier ist zweidimensional, also ist das Bild .......-dimensional. Die Dimension des Bildes entspricht ja dem Rang der zu A gehörenden Matrix, die suchst du. Es gilt ja weiter: Zeilenrang=Spaltenrang. Wie rechnest du jetzt den Kern einer Matrix aus? So kannst du dir eine Matrix hinschreiben, die die genannten Bedingungen erfüllt(Es gibt mehr als nur eine Möglichkeit)
Einen schönen Tach
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 So 09.03.2008 | | Autor: | timako |
Das Bild ist ebenfalls 2-dimensional, also gilt rg(A) = 2
Ich brauche also eine (3x4)-Matrix.
Den Kern einer Matrix errechne ich durch
[mm] A\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Kann ich die Aufgabe nicht anders lösen (Rang und dimension sind NICHT Bestandteil der Vorlesung gewesen)?
Ich kann ja [mm] \vec{x} [/mm] als Linearkombination der Vektoren aus span{...} darstellen:
[mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}} [/mm] = [mm] \alpha_{1}\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4} [/mm] + [mm] \alpha_{2}\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \alpha_{1} [/mm] = [mm] x_{1}
[/mm]
[mm] \alpha_{2} [/mm] = [mm] -2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] oder [mm] -3x_{1} [/mm] + [mm] x_{3} [/mm] oder [mm] -4x_{1} [/mm] + [mm] x_{4}
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (wegen Linearität der Abb. T)
[mm] T(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}) [/mm] = [mm] \alpha_{1}*T(\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}) [/mm] + [mm] \alpha_{2}*T(\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] x_{1}*T(\vektor{1 \\ 2 \\ 3 \\ 4}) [/mm] + [mm] (-2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2})*T(\vektor{0 \\ 1 \\ 1 \\ 1}) [/mm] = [mm] x_{1}* \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] + [mm] (-2x_{1} [/mm] + [mm] x_{2})* \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}
[/mm]
Dies führt aber nicht zu einem Ergebnis, was mache ich falsch?
Für eine ausführlichere Antwort wäre ich sehr dankbar - ich habe den "großen Zusammenhang" zwischen Vektoren, Matrizen und linearen Abbildung noch nicht wirklich durchschaut...
Grüße, Timako
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 So 09.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Schreib dir doch mal ne Matrix T hin. die ersten 2 Spalten sollen linear unabh. sein, also wähl dafür einfach (1,0,0) 0,1,0) danach (a,b,c)(d,e,f)
jetzt multiplizier mit deinem 1. Vektor (0,1,1,1) daraus folgt dann z. Bsp d=-a usw. setz das ein und multiplizier entsprechend mit dem zweiten. Schon hast du ein T was das tut, was es soll.
Gruss leduart
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