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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Mi 06.06.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | zeige, dass trace(A) eine lineare Abbildung ist
A ist 2x2 Matrix. |
Hi zusammen.
Ich weiss die Aufgabe sollte oder ist sogar nicht schwer, nur bin ich total durcheinander..
Also trace ist ja definiert als die Addition der Diagonaleinträge. Demnach heisst [mm] trace(A)=a_{11}+a_{22}
[/mm]
Jetzt soll ich überprüfen, ob dies eine lineare Abbildung ist, nur wo ist die Funktion? ich muss ja prüfen, ob
f(x+y)=f(x)+f(y)
[mm] f(\lambda*x)=\lambda*f(x)
[/mm]
ist.. Oder heisst das ich muss einfach zeigen, dass
[mm] trace(a_{11}+a_{22})=trace(a_{11})+trace(a_{22}) [/mm] etc.
wie ihr seht bin ich etwas verwirrt.. Wäre sehr froh um Tipps..
Vielen Dank, Mel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:24 Mi 06.06.2007 | | Autor: | statler |
> zeige, dass trace(A) eine lineare Abbildung ist
> A ist 2x2 Matrix.
Mahlzeit Mel!
> Ich weiss die Aufgabe sollte oder ist sogar nicht schwer,
> nur bin ich total durcheinander..
> Also trace ist ja definiert als die Addition der
> Diagonaleinträge. Demnach heisst [mm]trace(A)=a_{11}+a_{22}[/mm]
> Jetzt soll ich überprüfen, ob dies eine lineare Abbildung
> ist, nur wo ist die Funktion? ich muss ja prüfen, ob
> f(x+y)=f(x)+f(y)
> [mm]f(\lambda*x)=\lambda*f(x)[/mm]
> ist..
Genau! Und f ist trace, x und y sind Matrizen X und Y mit Einträgen [mm] x_{ij} [/mm] und [mm] y_{kl}.
[/mm]
> Oder heisst das ich muss einfach zeigen, dass
> [mm]trace(a_{11}+a_{22})=trace(a_{11})+trace(a_{22})[/mm] etc.
Das hat in diesem Zusammenhang gar keinen Sinn, weil trace Matrizen als Argument braucht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:37 Do 07.06.2007 | | Autor: | Meli90 |
| Aufgabe | Zeige, dass trace(AB) eine bilineare Abbildung ist.
A, B [mm] \in [/mm] 2x2 Matrizen |
Ich habe nochmals eine ähnliche Aufgabe. Die andere konnte ich ind er Zwischenzeit gut lösen (vielen Dank!! =))
Nun sind wir aber schon bei bilinearen Abbildungen. An und für sich ist mir die Definition auch klar, nur tu ich mich immer noch schwer mit dem trace..
Also ich würde hier folgendermassen vorgehen:
A*B berechnen
[mm] \pmat{ a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22} \\ a_{12}b_{11}+a_{22}b_{21} & a_{12}b_{12}+a_{22}b_{22}}
[/mm]
Dann ist trace ja definiert als Addition der Diagonaleinträge, also wäre
trace(AB)= [mm] a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{12}b_{12}+a_{22}b_{22}
[/mm]
Nur wie weiter? Hier bleibe ich stecken.. Irgendwie habe ich ja gar keine 2 Komponenten.. Muss ich da noch 2 andere Matrizen nehmen (z.B. CD) und die als 2 Eintrag? Und was muss ich überhaupt zeigen?
Bin etwas überfordert, leider..
Wäre sehr froh um Tipps!! Danke..
Mel
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Du musst zeigen: Trace((A+A')B) = Trace(AB) + Trace(A'B) bzw. Trace((xA)B) = xTrace(AB)! Also A ersetzen durch A+A' bzw. xA! Analog für B! Aber das is klar da die Abbildaung symmetrisch ist! Hoffentlich hilfts!
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