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| Aufgabe | Es seien im [mm] R^3 [/mm] die Vektoren
[mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ u_3 }, \pmat{ 0 \\ v_2 \\ v_3 }, \pmat{ w_1 \\ w_2 \\ w_3 }
[/mm]
gegeben.
Zeigen Sie:
a) Falls [mm] w_1 [/mm] * [mm] v_2 [/mm] * [mm] u_3 \not= [/mm] 0, so ist die Familie (u,v,w) linear unabhängig.
b) Falls [mm] w_1=0 [/mm] oder [mm] u_3, [/mm] so ist die Familie (u,v,w) linear abhängig. |
Zur a: Wenn [mm] w_1 [/mm] * [mm] v_2 [/mm] * [mm] u_3 [/mm] = 0 gelten würde, dann wäre ja mindestens einer dieser Koeffizienten = 0. Also ist mir schon einleuchtend, dass in jedem Fall die Vektoren linear abhängig wären, wenn [mm] w_1, v_2 [/mm] oder [mm] u_3 [/mm] = 0 wären.
Wäre [mm] w_1=0, [/mm] dann wäre w aus v darstellbar.
Wäre [mm] v_2=0, [/mm] dann wäre v aus u darstellbar.
Wäre [mm] u_3=0, [/mm] dann wäre u der Nullvektor.
Die Überlegung ist sicherlich sinnlos, aber das war das Erste, wo dran ich gedacht habe.
Nun müsste ich ja Gauß anwenden und schauen, ob nur eine Lösung rauskommt.
I [mm] z*w_1=0
[/mm]
II [mm] y*v_2 [/mm] + [mm] z*w_2=0
[/mm]
III [mm] x*u_3 [/mm] + [mm] y*v_3 [/mm] + [mm] z*w_3=0
[/mm]
Wäre das schon mal irgendwie richtig?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es seien im [mm]R^3[/mm] die Vektoren
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> [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ u_3 }, \pmat{ 0 \\ v_2 \\ v_3 }, \pmat{ w_1 \\ w_2 \\ w_3 }[/mm]
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> gegeben.
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> Zeigen Sie:
>
> a) Falls [mm]w_1[/mm] * [mm]v_2[/mm] * [mm]u_3 \not=[/mm] 0, so ist die Familie
> (u,v,w) linear unabhängig.
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> b) Falls [mm]w_1=0[/mm] oder [mm]u_3,[/mm] so ist die Familie (u,v,w) linear
> abhängig.
> Zur a: Wenn [mm]w_1[/mm] * [mm]v_2[/mm] * [mm]u_3[/mm] = 0 gelten würde, dann wäre ja
> mindestens einer dieser Koeffizienten = 0. Also ist mir
> schon einleuchtend, dass in jedem Fall die Vektoren linear
> abhängig wären, wenn [mm]w_1, v_2[/mm] oder [mm]u_3[/mm] = 0 wären.
>
> Wäre [mm]w_1=0,[/mm] dann wäre w aus v darstellbar.
> Wäre [mm]v_2=0,[/mm] dann wäre v aus u darstellbar.
> Wäre [mm]u_3=0,[/mm] dann wäre u der Nullvektor.
>
> Die Überlegung ist sicherlich sinnlos, aber das war das
> Erste, wo dran ich gedacht habe.
Hallo,
das ist sicher eine Möglichkeit.
Um zu überzeugen, müßtest Du die drei Fälle aber noch vorrechnen. behaupten kann man ja viel!
Ich weiß nun nicht, was Du weißt. hattet Ihr Determinanten und Gleichungssysteme?
[mm]w_1[/mm] * [mm]v_2[/mm] [mm] *u_3 [/mm] ist ja die Determinante der Matrix, welche die drei Vektoren in den Spalten enthält.
Ist die det [mm] \not=0, [/mm] so hat das GS r*u + s*v + t*w=0 mehr als eine Lösung, also insbesondere nicht nur die Lösung r=s=t=0, woraus die Abhängigkeit folgt.
Ebenso sind überlegungen über den Rang der Matrix möglich - sofern es dran war.
> Nun müsste ich ja Gauß anwenden und schauen, ob nur eine
> Lösung rauskommt.
>
> I [mm]z*w_1=0[/mm]
> II [mm]y*v_2[/mm] + [mm]z*w_2=0[/mm]
> III [mm]x*u_3[/mm] + [mm]y*v_3[/mm] + [mm]z*w_3=0[/mm]
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> Wäre das schon mal irgendwie richtig?
ja, so kannst du es machen.
Gruß v. Angela
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Bei dem Gleichungssystem erhält man nun x=0, y=0 und z=0. Hat man damit die lineare Unabhängigkeit schon bewiesen?
Determinanten, Ränge und sowas hatten wir, ich arbeite nur gerade alles von vorne wieder auf.
Kann ich bei b für beide Fälle einfach nach Gauß lösen und damit die Abhängigkeit beweisen?
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> Bei dem Gleichungssystem erhält man nun x=0, y=0 und z=0.
Hallo,
sofern die besagten Zahlen [mm] \not=0 [/mm] sind.
> Hat man damit die lineare Unabhängigkeit schon bewiesen?
Ja.
> Kann ich bei b für beide Fälle einfach nach Gauß lösen und
> damit die Abhängigkeit beweisen?
Du kannst das mit Gauß auf ZSF bringen, bzw. in der richtigen Reihenfolge in die Matrix stellen.
Dann siehst Du sofort, daß der rang =3 ist, wenn die Diagonalelemente von Null verschieden sind und kleiner als 3 sonst.
Gruß v. Angela
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Ah, gut, dann ist das ja gar nicht weiter knifflig. Vielen Dank.
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