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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:33 Fr 05.10.2012 | | Autor: | drossel |
Hallo,
Ich habe eine Nachfrage an einer Stelle im Beweis: wenn V und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume, f:V->W eine Abbildung mit dimV>dimW , dann ist f nicht injektiv.
Angenommen, es gibt eine injektive Abb. f:V->W. Wenn dimV=n>dimW=m , [mm] n,m\in \IN, [/mm] und [mm] \{v_1,..,v_n\} \subseteq [/mm] V linear unabhängig, dann ist [mm] \{f(v_1),..,f(v_n)\} \subseteq [/mm] W linear unabhängig, da f injektiv (ich bekomme den Nachweis nicht ganz hin, dass [mm] \{f(v_1),..,f(v_n)\} [/mm] l.u. ist, kann die Stelle jemand ausführen?, aber dass wegen der Injektivität die Menge auch n Elemente hat, die Bilder der Basiselemente, ist wegen der Injektivität richtig, oder?). Sei C eine Basis von W mit |C|=m, insbesondere ist C eine maximal linear unabhängige Teilmenge von W, d.h. dann, dass wegen dimV=n>dimW=m , dass [mm] \{f(v_1),..,f(v_n) \} [/mm] nicht linear unabhängig sein kann. Also gibt es keine injektive Abbildung.
Oder gilt die Behauptung an der es hakt nur, wenn f linear ist?
Würde mich über Hilfe freuen, Gruß.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:36 Fr 05.10.2012 | | Autor: | drossel |
okay, es geht nur wenn f linear ist.. sry
dh man muss es in der aussage auch dazu schreiben, sonst geht das so anscheinend nicht, das fehlte mir auch an der einen stelle an voraussetzung weshalb es hakt, falls ich mich nicht irre (ich warte mal die antwort ab)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:52 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> okay, es geht nur wenn f linear ist.. sry
> dh man muss es in der aussage auch dazu schreiben, sonst
> geht das so anscheinend nicht, das fehlte mir auch an der
> einen stelle an voraussetzung weshalb es hakt, falls ich
> mich nicht irre (ich warte mal die antwort ab)
ja, das kann sein, dass Dir diese "Kerneigenschaft" gefehlt hat, um selber
einzusehen, warum die Bilder linear unabhängig sind, wenn es die
Urbilder sind und [mm] $f\,$ [/mm] eine lineare injektive Abbildung ist!
Du siehst ja auch, dass ich alles ausgenutzt habe: Sowohl die
Linearität als auch die Injektivität!
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:48 Fr 05.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
> Ich habe eine Nachfrage an einer Stelle im Beweis: wenn V
> und W zwei endlichdimensionale K-Vektorräume, f:V->W eine
> Abbildung mit dimV>dimW , dann ist f nicht injektiv.
>
> Angenommen, es gibt eine injektive Abb. f:V->W. Wenn
> dimV=n>dimW=m , [mm]n,m\in \IN,[/mm] und [mm]\{v_1,..,v_n\} \subseteq[/mm] V
> linear unabhängig, dann ist [mm]\{f(v_1),..,f(v_n)\} \subseteq[/mm]
> W linear unabhängig, da f injektiv (ich bekomme den
> Nachweis nicht ganz hin, dass [mm]\{f(v_1),..,f(v_n)\}[/mm] l.u.
> ist, kann die Stelle jemand ausführen?
klar:
Es sei
[mm] $$(\*)\;\;\;\sum_{k=1}^n r_k w_k=0$$ [/mm]
mit [mm] $w_k:=f(v_k)$ [/mm] und wir haben nun zu zeigen, dass dann schon
[mm] $r_1=...=r_n=0$ [/mm] folgt.
Wegen der Linearität folgt aus [mm] $(\*)$
[/mm]
[mm] $$f\left(\sum_{k=1}^n r_k v_k\right)=0\,,$$
[/mm]
also ist [mm] $\sum_{k=1}^n r_k v_k\in \text{kern}(f)\,.$ [/mm] Wegen der Injektivität ist aber [mm] $\text{kern}(f)=\{0\}$ [/mm] (ist das bekannt? Wenn nicht:
Beweise, dass bei linearen Abbildungen, meinetwegen zwischen zwei
ENDLICH-dim. Vektorräumen, gilt, dass eine solche genau dann injektiv ist,
wenn der Kern nur aus dem Nullvektor besteht.)
Den Rest bekommst Du nun hin, oder? Die [mm] $v_k\,$ [/mm] sind ja nach Vorr.
linear unabhängig... (Beachte: $m [mm] \in \{p\} \gdw m=p\,.$)
[/mm]
> , aber dass wegen
> der Injektivität die Menge auch n Elemente hat, die Bilder
> der Basiselemente, ist wegen der Injektivität richtig,
> oder?).
Also für mich musst Du den Satz neu formulieren. Ich verstehe hier Deine
Frage nicht!
> Sei C eine Basis von W mit |C|=m, insbesondere ist
> C eine maximal linear unabhängige Teilmenge von W, d.h.
> dann, dass wegen dimV=n>dimW=m , dass [mm]\{f(v_1),..,f(v_n) \}[/mm]
> nicht linear unabhängig sein kann. Also gibt es keine
> injektive Abbildung.
>
> Oder gilt die Behauptung an der es hakt nur, wenn f linear
> ist?
Natürlich gilt die Aussage nur bei linearen Abbildungen! Aber was die
"hakende Behauptung" ist, weiß ich nicht.
Ich rechne Dir aber gerne mal vor, warum es keine injektive lineare
Abbildung $f: V [mm] \to [/mm] W$ geben kann ($V,W$ wie oben), wenn
[mm] $\dim(V) [/mm] > [mm] \dim(W)$ ($V,W\,$ [/mm] waren ja endlich-dimensional):
Wir nehmen an, die Behauptung wäre falsch und unser $f: V [mm] \to [/mm] W$
wäre linear und injektiv. Dann haben wir oben schon gesehen, dass
dann aber [mm] $\{f(v_1),\ldots,f(v_n)\}$ [/mm] linear unabhängig ist.
Damit kann man [mm] $\{f(v_1),\ldots,f(v_n)\} \subseteq [/mm] W$ zu einer Basis
von [mm] $W\,$ [/mm] ergänzen, insbesondere ist, weil
[mm] $|\{f(v_1),\ldots,f(v_n)\}|=n\,$ [/mm] ist, dann aber [mm] $\dim(W) \ge \dim(V)\,.$
[/mm]
Nach Annahme war aber
[mm] $$\dim(V) [/mm] > [mm] \dim(W)\,,$$
[/mm]
es folgt nun also etwa
[mm] $$\dim(V) [/mm] > [mm] \dim(W) \ge \dim(V)$$
[/mm]
also der Widerspruch
[mm] $$\dim(V) [/mm] > [mm] \dim(V)\,,$$
[/mm]
so dass die Annahme verworfen werden muss.
P.S.
Neben dem Teil, den ich Dir ergänzt habe, musst Du eigentlich nur wissen:
Ist [mm] $\tilde{V}$ [/mm] ein endlichdimensionaler Vektorraum und ist
$A [mm] \subseteq \tilde{V}$ [/mm] eine linear unabhängige Teilmenge von [mm] $V\,$
[/mm]
mit [mm] $|A|=m\,,$ [/mm] so ist [mm] $\dim(\tilde{V}) \ge m\,.$
[/mm]
Ein Zahlenbeispiel:
Hat man einen Vektorraum mit einer linear unabhängigen Teilmenge
gefunden, so dass diese Teilmenge [mm] $7\,$ [/mm] Elemente enthält, so folgt
schon, dass jede Basis dieses Vektorraums mehr als 7 Elemente
enthält - seine Dimension ist also sicher [mm] $\ge 7\,.$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:23 Sa 06.10.2012 | | Autor: | drossel |
Super, vielen Dank für die ausführliche Antwort!
Das mit ker(f)={0} für eine injektive lineare Abb. f ist bekannt, ok es hakte echt an der fehlenden Linearität, fehlte ja in der Aussage, ober ohne kam ich nicht weiter.
Wegen [mm] \sum_{k=1}^n r_k v_k\in \text{kern}(f)\ [/mm] und ker(f)={0}, ist [mm] \sum_{k=1}^n r_k v_k=0, [/mm] da [mm] \{v_1,..,v_n\} [/mm] linear anabhängig, ist dann [mm] r_k=0 [/mm] für alle [mm] k\in \{1,..,n\}. [/mm] Also das, was zu zeigen war.
Ich hoffe mal, dass es so ok ist? An sonsten habe ich dann deine Ausführungen verstanden, danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:00 Sa 06.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Super, vielen Dank für die ausführliche Antwort!
> Das mit ker(f)={0} für eine injektive lineare Abb. f ist
> bekannt, ok es hakte echt an der fehlenden Linearität,
> fehlte ja in der Aussage, ober ohne kam ich nicht weiter.
ach, ich hatte das gar nicht gesehen, dass das fehlt. Du hast Recht:
Die brauchen wir. (Mir ist jetzt gar nicht klar, ob die Aussage auch
ohne die Linearität stimmt. Da stehen ja leider endlichdimensionale
Vektorräume - denn ansonsten könnte man einfach sagen, dass
[mm] $\IN$ [/mm] und [mm] $\IN^2$ [/mm] ja gleichmächtig sind. Kennt vielleicht jmd. eine
Injektion [mm] $\IR^2 \to \IR$ [/mm] - bzw. kann es so eine geben?)
> Wegen [mm]\sum_{k=1}^n r_k v_k\in \text{kern}(f)\[/mm] und
> ker(f)={0}, ist [mm]\sum_{k=1}^n r_k v_k=0,[/mm] da [mm]\{v_1,..,v_n\}[/mm]
> linear anabhängig, ist dann [mm]r_k=0[/mm] für alle [mm]k\in \{1,..,n\}.[/mm]
> Also das, was zu zeigen war.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ich hoffe mal, dass es so ok ist? An sonsten habe ich dann
> deine Ausführungen verstanden, danke.
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:05 Sa 06.10.2012 | | Autor: | drossel |
Danke. Ich stelle das jetzt etxra als Frage, mich würde es auch mal interessieren, wie das bei nichtlinearen Funktionen ist, also ob es eine Injektion zb [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] gibt . Habe bisher noch keine gefunden .Aber wie ein allgemeiner Beweis (wenn es überhaupt möglich ist) gehen soll, wüsste ich bisher leider nicht, da gehen ja die ganzen Eigenschaften flöten mit Ker(f)={0} etc. Ich überlege aber mal weiter..
Weiss ja jemand was zu? Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:28 Sa 06.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Schau mal hier
http://www1.am.uni-erlangen.de/~kraeutle/MfI2-SS04-Uebungsblaetter/loesung5.pdf
Aufgabe 14
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Sa 06.10.2012 | | Autor: | drossel |
ah okay, vielen Dank!! Ihr habt mir sehr weitergeholfen! Gruß
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