linear oder nicht < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Welche der folgenden Abbildungen f : [mm] \IR [/mm] ² [mm] \to \IR [/mm] ³ sind linear?
f ( [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] ) = [mm] \vektor{x + y²\\ 2x \\ x-y} [/mm] |
ich weiss überhaupt nicht wie ich das ganze angehen soll.
bitte dringend um einen Lösungsansatz.
Wie überprüfe ich ob die Abbildung linear von [mm] \IR [/mm] ² [mm] \to \IR [/mm] ³ ist?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Mi 03.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
f ist linear, wenn
i) für [mm] \lambda\in\IR [/mm] beliebig, gilt: [mm] f(\lambda*x)=\lambda*f(x)
[/mm]
und
ii) für [mm] x,y\in\IR [/mm] gilt: f(x+y)=f(x)+f(y).
Jetzt musst du das "nur" noch auf deinen Schverhalt übertragen. Okay, vielleicht leichter gesagt als getan 
Versuchen wir uns mal an ii):
Die gegebene Abbildung: [mm] f:\IR²\to\IR³, f(\vektor{x \\ y})=\vektor{x + y²\\ 2x \\ x-y}
[/mm]
Sei [mm] \vektor{x \\ y},\vektor{w \\ z}\in\IR^2,
[/mm]
[mm] f(\vektor{x \\ y}+\vektor{w \\ z})=f(\vektor{x+w \\ y+z})=\vektor{(x+w) + (y+z)²\\ 2*(x+w) \\ (x+w)-(y+z)}=\vektor{x+w + y^2+2yz+z²\\ 2*x+2*w \\ x+w-y-z}=\vektor{x+ y^2\\ 2*x \\ x-y}+\vektor{w + \red{2yz}+ z²\\ 2*w \\ w-z}
[/mm]
[mm] \not=f(\vektor{x \\ y})+f(\vektor{w \\ z}), [/mm] da [mm] f(\vektor{w \\ z})=\vektor{w + z²\\ 2*w \\ w-z}\not=\vektor{w + \red{2yz}+ z²\\ 2*w \\ w-z}, [/mm] der Term [mm] 2\cdot{y}*z [/mm] ist zu viel.
i) brauchst du nicht mehr zeigen, da ii) nicht erfüllt und f somit nicht linear ist.
MfG barsch
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hey ich könnte dich umarmen und dann noch sone flotte Antwort.
Herzlichen Dank.
Wenn ich jetzt die Bedingung i) zeigen möchte , muss ich dann einfach stur einen Vektor [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] nehmen und [mm] \lambda [/mm] einmal mit reinziehen und einma vor die Funktion setzen? Muss doch dann irgentwie beweisen das es gilt. So aus der Gewohnheit heraus ist das ja klar das f [mm] (\vektor{\lambda x \\ \lambda y} [/mm] = [mm] \lambda \vektor{x \\ y} [/mm] ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:34 Mi 03.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
> hey ich könnte dich umarmen und dann noch sone flotte
> Antwort.
> Herzlichen Dank.
bitte 
> Wenn ich jetzt die Bedingung i) zeigen möchte , muss ich
> dann einfach stur einen Vektor [mm]\vektor{x \\ y}[/mm] nehmen und
> [mm]\lambda[/mm] einmal mit reinziehen und einma vor die Funktion
> setzen? Muss doch dann irgentwie beweisen das es gilt. So
> aus der Gewohnheit heraus ist das ja klar das f
> [mm](\vektor{\lambda x \\ \lambda y}[/mm] = [mm]\lambda \vektor{x \\ y}[/mm]
> ist.
Du meinst [mm] f(\vektor{\lambda x \\ \lambda y})=\lambda f(\vektor{x \\ y}); [/mm] du musst bei i) prüfen, ob [mm] f(\vektor{\lambda x \\ \lambda y})=\lambda f(\vektor{x \\ y}) [/mm] gilt für beliebiges [mm] \lambda\in\IR [/mm] und [mm] \vektor{x \\ y}\in\IR^2.
[/mm]
Aber vorsicht, auch i) ist bei dieser Abbildung nicht erfüllt.
[mm] f(\lambda*\vektor{x \\ y})=f(\vektor{\lambda*x \\ \lambda*y})=\vektor{\lambda*x + (\lambda*y)²\\ 2\lambda*x \\ \lambda*x-\lambda*y}=\vektor{\lambda*x + \lambda^2*y²\\ 2\lambda*x \\ \lambda*(x-y)}=\lambda*\vektor{x + \red{\lambda}*y²\\ 2x \\ x-y}\not=\lambda*f(\vektor{x \\ y}), [/mm]
weil [mm] \lambda*f(\vektor{x \\ y})=\lambda*\vektor{x + y²\\ 2x \\ x-y}\not=\lambda*\vektor{x + \red{\lambda}*y²\\ 2x \\ x-y}. [/mm] Das Quadrat hat dir auch hier einen Strich durch die Rechnung gemacht, denn dadurch befindet sich ein [mm] \lambda [/mm] zuviel in der Rechnung.
MfG barsch
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Hey also nochmal herzlichen Dank, hast mir echt gut geholfen :)
Schönen Abend noch
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