linear Abhängigkeit < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mo 11.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Durch die Punkte A(0/0/0),B(10/0/0),C(6/12/0) und D(6/2/8) ist eine auf der x-y-Ebene stehende dreiseitige Pyramide gegeben.Die Ebene,in der die Punkte A,B und C liegen,werde mit [mm] E_{1}, [/mm] diejenige, in der die Punkte A,C und D liegen, mit [mm] E_{2} [/mm] bezeichnet.
a) Bestimmen Sie einen Lotvektor [mm] \vec{n}_{1} [/mm] der Ebene [mm] E_{1} [/mm] und einen Lotvektor [mm] \vec{n}_{2} [/mm] der Ebene [mm] E_{2} [/mm] und zeigen Sie,dass [mm] \vec{n}_{1},\vec{n}_{2} [/mm] linear unabhängig,dagegen [mm] \vec{n}_{1},\vec{n}_{2},\overrightarrow{BD} [/mm] linear abhängig sind.Welche Dimension hat also der von den Vektoren [mm] \vec{n}_{1}, \vec{n}_{2} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] aufgespannte Vektorraum? |
Hallo^^
Ich komme bei dieser Aufgabe nicht mehr ganz weiter.
Ich hab erstmal die Gleichungen der Ebenen [mm] E_{1} [/mm] und [mm] E_{2} [/mm] aufgestellt und dann mit dem Kreuzprodukt die Lotvektoren bestimmt.
[mm] E_{1}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+r*\vektor{6 \\ 12 \\ 0}+s*\vektor{10 \\ 0 \\ 0}, \vec{n}_{1}=\vektor{12 \\ 0 \\ -120}
[/mm]
[mm] E_{2}:\vec{x}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}+u*\vektor{6 \\ 2 \\ 8}+v*\vektor{6 \\ 12 \\ 0}, \vec{n}_{2}=\vektor{-96 \\ 42 \\ 60}.
[/mm]
So,die lineare Unabhängigkeit von [mm] \vec{n}_{1} [/mm] und [mm] \vec{n}_{2} [/mm] hab ich gezeigt aber bei der linearen Unabhängigkeit von [mm] \vec{n}_{1} ,\vec{n}_{2} [/mm] , [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] komme ich nicht mehr weiter.Dazu muss ja die folgende Gleichung mindestens eine von r=s=t=0 verschiedene Lösung haben.
[mm] r*\vektor{0 \\ 0 \\ -120}+s*\vektor{-96 \\ 42 \\ 60}+t*\vektor{-4 \\ 2 \\ 8}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
Es gilt somit:
1) -96s-4t=0
2) 42s+2t=0
3) -120r+60s+8t=0
Aus der 1) Gleichung folgt t=-24s
Wenn ich das aber in 2) einsetze kommt s=s raus,also kann ich ein Vriable frei wählen.Ich habe mal s=-0.5 gewählt,wenn ich das in 1) einsetze bekomme ich für t=12 raus.Wenn ich diese beiden Werte aber in 2) einsetze ,ergibt sich ein Widerspruch.Das heitß es gibt nur die Lösung r=s=t=0,aber dann wären die drei Vektoren doch linear unabhängig.
Ich versteh das nicht,kann mir bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:04 Mo 11.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
Der Rechenweg ist richtig, schau Dir nochmal an, ob Du den zweiten Eintrag von [mm] $\vec{n_{2}}$ [/mm] richtig berechnet hast. Übrigens hast Du Dich bei [mm] $\vec{n_{1}}$ [/mm] oben verschrieben, es unten aber dann richtig gemacht.
Gruß,
AT-Colt
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 So 17.01.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
> Der Rechenweg ist richtig, schau Dir nochmal an, ob Du den
> zweiten Eintrag von [mm]\vec{n_{2}}[/mm] richtig berechnet hast.
> Übrigens hast Du Dich bei [mm]\vec{n_{1}}[/mm] oben verschrieben,
> es unten aber dann richtig gemacht.
Ok,ich habs berichtigt und habe jetzt auch die lineare Abhängigkeit.
Dann hat also der von den Vektoren [mm]\vec{n_{1}}[/mm],[mm]\vec{n_{2}}[/mm] und [mm] \overrightarrow{BD} [/mm] aufgespannte Vektorraum dei Dimension 2,da 2 dieser Vektoren linear unabhängig sind?
Kann man das so sagen?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:19 So 17.01.2010 | | Autor: | AT-Colt |
> Dann hat also der von den Vektoren [mm]\vec{n_{1}}[/mm],[mm]\vec{n_{2}}[/mm]
> und [mm]\overrightarrow{BD}[/mm] aufgespannte Vektorraum dei
> Dimension 2,da 2 dieser Vektoren linear unabhängig sind?
> Kann man das so sagen?
Ja, die Dimension eines (Unter)Vektorraumes entspricht der maximalen Anzahl linear unabhängiger Vektoren in diesem (U)VR.
Ich nehme an, ihr habt die Dimension durch die Anzahl der Basisvektoren definiert und die sehen bei euch so aus:
[mm] $\vec{e}_{1}= \vektor{1 \\ 0 \\ 0}$, $\vec{e}_{2}= \vektor{0 \\ 1 \\ 0}$, $\vec{e}_{3}= \vektor{0 \\ 0 \\ 1}$
[/mm]
Du kannst auch beliebige andere linear unabhängige Vektoren als Basis benutzen. Dann heisst es halt nicht "zwei nach links, drei nach oben", sondern (sinngemäß) "vier nach schräg links oben, eins nach unten". Das macht ihr aber bestimmt noch und ich will dem Lehrplan nicht zuweit vorgreifen ^^;
Gruß,
AT-Colt
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