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| Aufgabe | Sei f: [mm] K^{n} \to [/mm] K (= [mm] K^{1}) [/mm] eine Abbildung.
a) Zeige: f linear [mm] \gdw [/mm] es gibt [mm] \lambda_{1}, [/mm] ..., [mm] \lambda_{n} \in [/mm] K, sodass
f( [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] = [mm] \lambda_{1} x_{1} [/mm] + ... + [mm] \lambda_{n} x_{n}
[/mm]
für alle ( [mm] x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) \in K^{n}.
[/mm]
Als Hilfe dazu:
b) Wie sieht in diesem Fall M(f, e, e) (e = Standardbasis von [mm] K^n [/mm] bzw. [mm] K^1) [/mm] aus? |
hallo!
nur zu a)
[mm] \Leftarrow: [/mm] diese Richtung bilde ich mir ein gezeigt zu haben.
[mm] \Rightarrow: [/mm] damit hab ich so meine Problem. hier mein Ansatz:
(e) sei Basis von [mm] K^n, [/mm] (x) = [mm] (x_{1}, [/mm] ..., [mm] x_{n}) [/mm] beliebige Familie in [mm] K^n \Rightarrow [/mm] (x) = (e)*A, wobei A die Übergangsmatrix darstellt.
darauf f angewendet:
f(x) = f(e*A) = f(e)*A
da f linear und (e) Basis von [mm] K^n \Rightarrow [/mm] f(e) = (y) mit (y)= beliebige Familie [mm] \in K^1
[/mm]
somit: f(x) = (y)*A
mein Ziel: die Matrix A irgendwie als geeignete Koordinatenspalte darzustellen.
mein Problem: meine Matrix verändert ihre Gestalt (durch die Anwendung von f) und das darf ja nicht sein:
(x) = (e)*A, wobei (x) [mm] \in K^{1xn}, [/mm] (e) [mm] \in K^{1xn} [/mm] und somit A [mm] \in K^{nxn}
[/mm]
f(x) = (y)*A, wobei f(x) [mm] \in K^{1x1}, [/mm] (y) in [mm] K^{1x1} [/mm] und somit A [mm] \in K^{1x1} [/mm]
[mm] \Rightarrow: [/mm] da stimmt was nicht :)
Mir hilft auch der "Tipp" nicht wirklich weiter, weil ich für die Abbildungsmatrix ja jeweils die Basen der beiden Vektorräume brauche und ich nicht weiß, wo ich die herzaubern soll.
Häng schon seit einiger Zeit auch über der Theorie und hab da ziemliche Probleme damit. Bin deshalb für Hilfe dankbar.
lg
sonnenblumale
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Hallo und guten Morgen !
Also Dein Problem liegt bei [mm] (\Longrightarrow [/mm] ) von (a). Sei doch also mal [mm] f\colon K^n\to [/mm] K
linear. Nimm Dir doch einfach die Vektoren
[mm] e_i [/mm] = [mm] (0,\ldots 1\ldots [/mm] 0) (an i-ter Stelle eine 1, sonst alles 0 ) , [mm] 1\leq i\leq [/mm] n
her - die sog. Standardbasis von [mm] K^n.
[/mm]
Dann ist doch [mm] (x_1,\ldots [/mm] , [mm] x_n) =\sum_{i=1}^n x_i\cdot e_i [/mm] .
Da f linear ist, gilt doch
[mm] f((x_1,\ldots [/mm] , [mm] x_n)) [/mm] = [mm] f(\sum_{i=1}^nx_i\cdot e_i) [/mm] = (hier verwendest Du Linearitaet)
[mm] \sum_{i=1}^n x_i\cdot f(e_i)
[/mm]
also setze [mm] \lambda_i [/mm] := [mm] f(e_i).
[/mm]
Falls Dir diese ''brutale'' Anwendung der Linearitaet noch unbehaglich ist, so beweise
sie doch einfach mal per vollst. Induktion - zB zeige per Induktion nach j, dass fuer alle
[mm] 1\leq j\leq [/mm] n gilt:
[mm] f((x_1,\ldots x_n)) [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^{j}x_i\cdot f(e_i) [/mm] + [mm] f((0,\ldots [/mm] , 0, [mm] x_{j+1},\ldots x_n)),
[/mm]
oder noch besser: zeige aus der Linearitaet durch vollst Induktion, dass fuer beliebige
[mm] m\in\IN [/mm] und [mm] v_i\in K^n,x_i\in K,1\leq i\leq [/mm] m gilt:
[mm] f(\sum_{i=1}^mx_i\cdot v_i)=\sum_{i=1}^mx_i\cdot f(v_i)
[/mm]
Viel Erfolg und viele Gruesse,
Mathias
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hallo und ebenfalls guten morgen!
mit der standardbasis habe ich auch gearbeitet, was mir jedoch unklar ist, ist die linearkombination.
ich war der auffassung, dass ich durch eine linearkombi nur 1 vektor erhalte ... nicht eine familie von vektoren.
$ [mm] (x_1,\ldots [/mm] $ , $ [mm] x_n) =\sum_{i=1}^n x_i\cdot e_i [/mm] $ ... ????
den "brutalen" umgang mit der linearität find ich recht angemessen *g*.
greetz
sonnenblumale
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Hallo nochmal,
also ein Vektor [mm] (x_1,\ldots x_n) [/mm] kann doch durchaus gleich einer Summe von n Vektoren
[mm] x_i\cdot e_i [/mm] sein, oder ?
Gruss,
Mathias
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| Aufgabe | a) Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung f: [mm] \IR \to \IR [/mm] aus?
b) Wie sieht er für eine lineare Abbildung f: [mm] \IR^2 \to \IR [/mm] aus? (Skizzen) |
hallöchen!
ja, das schon, habs den vektor aber nie als zeile sondern immer als spalte angesehen und dachte, dass [mm] x_1, [/mm] ..., [mm] x_n [/mm] alles selbst vektoren sind und ich also eine familie von vektoren als resultat einer linearkombi habe :)
eine andere frage habe ich aber noch zu obiger angabe:
zu a) nach meiner Berechnung ist jede lineare Abbildung eine Basis von [mm] \IR, [/mm] bin ich in der hinsicht richtig?
zu b) ich hab die Darstellung als Linearkombi wieder versucht und dann darauf die Abbildung angewendet. Meine Frage: ändern sich da nicht die Summationsgrenzen?
siehe:
v [mm] \in \IR^2, [/mm] f(v) in [mm] \IR: [/mm] $ v [mm] =\sum_{i=1}^2 \lambda_i\cdot e_i [/mm] $ und somit
$ f(v) [mm] =\sum_{i=1}^2 \lambda_i\cdot f(e_i) [/mm] $
setze [mm] f(e_i) [/mm] = e ... Standardbasis von [mm] \IR, [/mm] dann kann meine Obere Summationsgrenze aber nur mehr 1 sein, obwohl die [mm] \lambda's [/mm] verändern sich ja nicht! *verwirrung*
als resultat hätte ich dann wieder einen vektor, der ganz [mm] \IR [/mm] erzeugt.
In dem Zusammenhang:
Gibt es einen Vektor [mm] \in \IR, [/mm] der nicht ganz [mm] \IR [/mm] erzeugt?? - nein, oder?
thänks & greetz
sonnenblumale
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 Fr 06.01.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo ...male
> a) Wie sieht der Graph einer linearen Abbildung f: [mm]\IR \to \IR[/mm]
> aus?
> b) Wie sieht er für eine lineare Abbildung f: [mm]\IR^2 \to \IR[/mm]
> aus? (Skizzen)
> hallöchen!
>
> ja, das schon, habs den vektor aber nie als zeile sondern
> immer als spalte angesehen und dachte, dass [mm]x_1,[/mm] ..., [mm]x_n[/mm]
> alles selbst vektoren sind und ich also eine familie von
> vektoren als resultat einer linearkombi habe :)
ob man Vektoren als Zeile oder Spalte schreibt ist egal, nur beim multiplizieren spielt das ne Rolle. aber die Schreibweise (x1,x2,x3) [mm] \in \IR^{3} [/mm] verbietet deine Interpretation!
> eine andere frage habe ich aber noch zu obiger angabe:
> zu a) nach meiner Berechnung ist jede lineare Abbildung
> eine Basis von [mm]\IR,[/mm] bin ich in der hinsicht richtig?
Die Abbildung ist keine Basis! Wenn sie auf 0 abbildet auch das Bild von v eine. Was du meinst ist vielleicht : es gibt ein v aus [mm] \IR^{2} [/mm] das auf die Basis von [mm] \IR [/mm] abgebildet wird.
Im Vektorraum aller linearen Funktionen von [mm] R^{2} [/mm] nach R kann man wieder eine Basis wählen!
> zu b) ich hab die Darstellung als Linearkombi wieder
> versucht und dann darauf die Abbildung angewendet. Meine
> Frage: ändern sich da nicht die Summationsgrenzen?
> siehe:
> v [mm]\in \IR^2,[/mm] f(v) in [mm]\IR:[/mm] [mm]v =\sum_{i=1}^2 \lambda_i\cdot e_i[/mm]
> und somit
> [mm]f(v) =\sum_{i=1}^2 \lambda_i\cdot f(e_i)[/mm]
>
> setze [mm]f(e_i)[/mm] = e ... Standardbasis von [mm]\IR,[/mm] dann kann meine
Das heisst doch du setzest [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}=1 [/mm] ! also eine spezielle lineare Abbildung. für v=(2,3) ist dann f(v)=1*2+1*3=5 [mm] usw.v=(0,1)=e_{2}:f(v)=1*0+1*1=1
[/mm]
> Obere Summationsgrenze aber nur mehr 1 sein, obwohl die
> [mm]\lambda's[/mm] verändern sich ja nicht! *verwirrung*
wenn eines der [mm] x_{i}=0 [/mm] ist, gibt das zwar in der Summe keinen Beitrag, ändert aber am Summationsindex nichts!
> als resultat hätte ich dann wieder einen vektor, der ganz
> [mm]\IR[/mm] erzeugt.
i.A. erzeugst du in R immer eine zahl und damit eine "Erzeugende" ausser f(v)=0 für dein f z, Bsp für alle v=(a,-a)
> In dem Zusammenhang:
> Gibt es einen Vektor [mm]\in \IR,[/mm] der nicht ganz [mm]\IR[/mm] erzeugt??
> - nein, oder?
doch, der 0 Vektor
Aber in der Aufgabe ist doch nach dem Graph der Abbildungen gefragt.
der Graph einer Abbildung f von M nach N ist die Menge aller Punkte (m,f(m)) in MxN, [mm] m\inM, f(m)\in [/mm] N im Falle a) also eine Gerade durch den Nullpunkt der Ebene [mm] \IRx\IR. [/mm] Kannst du jetzt b)
Gruss leduart
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