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| Aufgabe | Es sei T:R² ->R² eine Abbildung mit [mm] \vektor{1 \\ 1} \mapsto \vektor{4 \\ 2} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -1} \masto \vektor{2 \\ 0}.
[/mm]
a) Existiert eine lineare Abbildung mit diesen Eigenschaften?(Begründung)
b) Wenn ja, finden Sie a,b,c,d [mm] \in [/mm] R mit T(x,y)= (ax+by, cx+dy).
c) Bestimmen Sie [mm] _eM_e(T) [/mm] für die Standartbasis e=(e1,e2)
d) Bestimmen Sie [mm] _eM_e(T) [/mm] über einen Basiswechsel, indem Sie [mm] a=(\vektor{1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1} [/mm] und [mm] b=(\vektor{4 \\ 2}, \vektor{2 \\ 0}) [/mm] wählen und mit [mm] _aM_b(T) [/mm] beginnen. |
Hallo,
kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? Die d) könnte ich noch selber machen, aber bei a) fehlt mir die Begründung und bei b) und c) der Ansatz. Wäre nett, wenn mir jemand helfen könnte...Danke
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Guten Tach.
Also zu a).
Lineare Fortsetztung sag ich nur. Was du überprüfen musst ist ob [mm] \vektor{1 \\ -1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] eine Basis des [mm] \IR^2 [/mm] bilden, wenn ja dann gibt es eine Lineare Abbildung denn wenn die Abbildung auf einer Basis definiert ist ist sie auch auf dem ganzen raum definiert(Lineare Fortsetzung)
b) hier sollst du das erzeugendensystem ausrechnen. Also zuerst kannst du ja jeden Vektor darstellen als [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] a*\vektor{1 \\ 1} [/mm] + [mm] b*\vektor{1 \\ -1}. [/mm] Daraus kannst du dann ein Gleichungssystem machen mit zwei gleichungen (x=........... und y=..................) Das gleichungssystem musst du nun nach a und b auflösen. Du bekommst dann raus b=.....*x+...*y und a=....*x + ....*y. Das setzt du jetzt wieder ein oben für a und b. Dann wendest du T auf die Gleichung an. Dann verändern sich ja die Vektoren also [mm] \vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] \vektor{1 \\ -1}(einfach [/mm] die Bilder hinschreiben dass kannst du weil T eine lineare Abbildung ist) Dann ausmultiplizieren. Dann hast du deine Allgemeine bildungsvorschrift du kannst du in
c)
Dort sollst du eine Matrix von A bzgl der Standardbasis finden also eine Matrix zum Basiswechsel. Erstmal musst du dazu die Matrix von A bzgl der angegebenen Basis bestimmen. Also die Bilder als Linearkombination der Basen schreiben. Dann die Standardbasis als Linearkombination der alten Basis schreiben und das in eine Matrix schreiben. Das ist die Transformationsmatrix S. Dann ergibt [mm] S^{-1}AS [/mm] die gesuchte Matrix.
Einen schönen Tach noch
Blasco
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Hallo, also zu b) (ich versuche das schon die ganze Zeit)
> b) hier sollst du das erzeugendensystem ausrechnen. Also
> zuerst kannst du ja jeden Vektor darstellen als [mm]\vektor{x \\ y}[/mm]
> = [mm]a*\vektor{1 \\ 1}[/mm] + [mm]b*\vektor{1 \\ -1}.[/mm] Daraus kannst du
> dann ein Gleichungssystem machen mit zwei gleichungen
> (x=........... und y=..................) Das
> gleichungssystem musst du nun nach a und b auflösen. Du
> bekommst dann raus b=.....*x+...*y und a=....*x + ....*y.
> Das setzt du jetzt wieder ein oben für a und b. Dann
> wendest du T auf die Gleichung an. Dann verändern sich ja
> die Vektoren also [mm]\vektor{1 \\ 1}[/mm] und [mm]\vektor{1 \\ -1}(einfach[/mm]
> die Bilder hinschreiben dass kannst du weil T eine lineare
> Abbildung ist) Dann ausmultiplizieren.
ich habe: x=1a+1b
a=b-x du meintest ja da muss a=....*x + ....*y stehen. also setzte ich das b ein, was ich unten raus habe: a=a-y-x (dann bringe ich das a rüber und das fällt dann weg. Darf man den letzten Schritt überhaupt machen?)
y= 1a-1b
b= a-y (und da würde das gleiche wie oben rauskommen, wenn ich a einsetze (b=b-x-y)) und wie es dann weitergehen soll verstehe ich auch noch nciht so ganz. Wäre nett wenn du das an einem bsp oder so verdeutlichen könntest. Danke...
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ALso machen wir das einmal an der Aufgabe. Also jeder Vektor lässt sich ja so darstellen.
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] a*\vektor{ 1\\ 1} +b*\vektor{1 \\ -1}.
[/mm]
Daraus ergibt sich folgendes Gleichungssystem
x=a+b
y=a-b
Jetzt möchte ich gerne b raushaben. Also addiere ich beide Gleichungen. x+y=2*a also ist a = [mm] \bruch{1}{2}*x+\bruch{1}{2}*y. [/mm]
Jetzt setzt du das für a in eine Gleichung ein. Ich nehm mal die erste. x= [mm] \bruch{1}{2}*x+\bruch{1}{2}*y [/mm] + b. Dann ergibt sich für b = [mm] \bruch{1}{2}*x [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}*y. [/mm] Jetzt wieder oben einsetzten.
[mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2}*x+\bruch{1}{2}*y)*\vektor{ 1\\ 1} +(\bruch{1}{2}*x-\bruch{1}{2}*y)*\vektor{1 \\ -1}.
[/mm]
Jetzt wendest du T auf die Gleichung an.
[mm] T(\vektor{x \\ y})= (\bruch{1}{2}*x+\bruch{1}{2}*y) *T(\vektor{1 \\ 1})+(\bruch{1}{2}*x-\bruch{1}{2}*y) *T(\vektor{1 \\ -1}) [/mm] = [mm] (\bruch{1}{2}*x+\bruch{1}{2}*y) *(\vektor{4 \\ 2})+(\bruch{1}{2}*x-\bruch{1}{2}*y) *(\vektor{2 \\ 0})
[/mm]
Ich habe einfach hingeschrieben was T von den beiden Angegebenen Vektoren ist. Jetzt noch einfach Ausmultiplizieren d.h. [mm] 4*(\bruch{1}{2}*x+\bruch{1}{2}*y) [/mm] + 2* [mm] (\bruch{1}{2}*x-\bruch{1}{2}*y) [/mm] ergibt die x koordinate, [mm] 2*(\bruch{1}{2}*x+\bruch{1}{2}*y) [/mm] die y koordinate. Du kommst am ende auf T(x,y)=(3x+y,x+y)
Ich hoffe ich konnte das verständlich schreiben
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:17 So 24.06.2007 | | Autor: | ossi83 |
zu b)
aus der Basis zusammen mit den Bildern und der Funktionsvorschrift lassen sich 4 Bedingungen für a,b,c und d ablesen:
i) T(1,1)=(4,2), d.h. T(1,1)=(a*1+b*1=4,c*1+d*1=2) <=> a+b=4 und c+d=2
ii) T(1,-1)=(2,0) d.h. T(1,-1)=(a*1+b*(-1)=2,c*1+d*(-1)=0) <=> a-b=2 und c-d=0
Nun macht man sich klar, was die Bedingungen bedeuten.
Bsp:
aus c-d=0 was folgt da wohl?
was muss daraufhin für c+d=2 gelten
hat man a,b,c,d dann bestimmt kann man ja noch mal die Probe machen ob man sich nicht verrechnet hat
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 So 24.06.2007 | | Autor: | Millili |
Kann mir jemand vllt einen Ansatz geben, wie man an die d) rangeht? Soll b hier eine weitere Basis darstellen oder sollen das weiter die Bilder von a sein?
Ich weiß gerade noch nciht wie ich weiter vorgehe, wenn ich aMb(T) berechnet habe, womit man ja anfangen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 So 24.06.2007 | | Autor: | ossi83 |
> Soll b hier eine weitere Basis darstellen oder
> sollen das weiter die Bilder von a sein?
Bzgl. WAS soll denn M eine darstellende Matrix sein wenn nicht bzgl. Basen.
> Ich weiß gerade noch nciht wie ich weiter vorgehe, wenn
> ich aMb(T) berechnet habe, womit man ja anfangen soll...
wenn du die darstellende Matrix von T bzgl. a und b schon berechnet hast, müsste dir was aufgefallen sein?
Was könnte dir dann die darstellende Matrix der Identität bzgl. b und e bringen?
Oder die darstellende Matrix der Identität bzgl. e und a?
(es gibt eine Formel zur Berechnung der darstellenden Matrix von T bzgl. e und e)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:21 So 24.06.2007 | | Autor: | Millili |
Also für aMb(T) kommt die Einheitsmatrix als darstellende Matrix raus.
Bei bMe(id)kommt [mm] \pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 0 } [/mm] heraus
Ich denke mal du meinst die Transformationsformel B= S [mm] \*A \*T^-1.
[/mm]
Wobei A ja hier = aMb(T) ist.
T= aMe(id)
und S=bMe(id) , oder?
was mich gerade etwas verwirrt, ist dass uns gesagt wurde S=T^-1, dann würde aber doch in der Transformationsformel für S und T^-1 das Gleiche stehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:41 So 24.06.2007 | | Autor: | ossi83 |
> Also für aMb(T) kommt die Einheitsmatrix als darstellende
> Matrix raus.
Genau. Und die Einheitsmatrix multipliziert mit einer anderen Matrix ergibt... richtig!
> Bei bMe(id)kommt [mm]\pmat{ 4 & 2 \\ 2 & 0 }[/mm] heraus
Auch korrekt
> Ich denke mal du meinst die Transformationsformel B= S [mm]\*A \*T^-1.[/mm]
> Wobei A ja hier = aMb(T) ist.
Genau die mein ich.
> T= aMe(id)
> und S=bMe(id) , oder?
Und wenn T= aMe(id) ist dann ist T^-1?
> was mich gerade etwas verwirrt, ist dass uns gesagt wurde
> S=T^-1, dann würde aber doch in der Transformationsformel
> für S und T^-1 das Gleiche stehen?
S=T^-1 galt nur in dem Beispiel in der Vorlesung
Hier ist T^-1 etwas anderes (man muss etwas rechnen aber es ist nicht schwierig)
Da hier A die Einheitsmatrix ist ist die Formel quasi B=S*E*T^-1=S*T^-1.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:37 So 24.06.2007 | | Autor: | Millili |
Also T^-1 ist die Inverse zur Matrix T und die habe ich ja gegeben.
Glaub dann habe ich das jetzt soweit verstanden. Danke für deine Hilfe:)
Millili
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 So 24.06.2007 | | Autor: | ossi83 |
keine Ursache Miriam
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