lin. Abb. linear abh. Vektoren < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:58 Mo 14.06.2010 | | Autor: | wnehli |
| Aufgabe | | Beweisen Sie: Linear abhängige Vektoren werden bei linearen Abbildungen stets auf linear abhängige Vektoren abgebildet. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also: ich weiß,
dass linear abhängige Vektoren sich durch ein Vielfaches der anderen Vektoren beschreiben lassen,
dass der Nullvektor bei jeder linearen Abbildung auf den Nullvektor abgebildet wird.
Bei einer Abbildung f: V->W ist dimKernf + dimBildf = dim V
der Kern ist alles, was auf den Nullvektor abgebildet wird und das Bild sind alle Elemente von W, die ein Urbild haben.
Lineare Abbhängigkeit bedeutet, dass diese keine weitere Dimension darstellen
Kann ich mit diesem Wissen den Beweis herleiten oder fehlt mir ein elementarer Bestandteil?
Und wo muss ich ansetzen, um den Beweis zu erbringen?
Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!!!!
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Huhu,
überleg dir zuerst:
Sind Vektoren [mm] $v_1,...,v_n$ [/mm] linear abhängig, dann gibts es [mm] \lambda_1,...,\lambda_n [/mm] so dass [mm] $\lambda_1v_1 [/mm] + ... + [mm] \lambda_nv_n [/mm] = 0$ wobei mindestens ein [mm] $\lambda_i \not= [/mm] 0$!
Wenn du nun zeigen willst, dass die [mm] f(v_i) [/mm] linear abhängig sind, musst du also was zeigen?
Wenn du weißt, was du zeigen musst, noch ein Hinweis. Versuchs mit den [mm] \lambda_i's [/mm] von oben.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:17 Di 15.06.2010 | | Autor: | wnehli |
Vielen Dank für die super schnelle Reaktion!!!
Ich würde jetzt so anfangen:
[mm] f(\alpha_{1} v_{1}+...+\alpha_{n} v_{n})=\alpha'_{1} w_{1}+...+\alpha'_{n} w_{n}
[/mm]
mit [mm] \alpha_{1} v_{1}+...+\alpha_{n} v_{n}=0 [/mm] (nicht nur triviale Lösung also mind. ein [mm] \alpha_{i}\not=0)
[/mm]
und [mm] \alpha'_{1} w_{1}+...+\alpha'_{n} w_{n}=0 [/mm] (nicht nur triviale Lösung also mind. ein [mm] \alpha'_{i}\not=0)
[/mm]
Allerdings habe ich selbst noch nicht so richtig verstanden, warum ich hier was tue. Diese Aufgabe quält mich, dabei gingen alle anderen recht gut von der Hand.
Ich habe noch mal im Skript gestöbert (hat nicht wirklich geholfen) aber muss ich auch f(x+y)=f(x)+f(y) und [mm] f(\alpha x)=\alpha [/mm] f(x) mit in meinen Beweis reinbasteln?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:40 Di 15.06.2010 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Vielen Dank für die super schnelle Reaktion!!!
> Ich würde jetzt so anfangen:
> [mm]f(\alpha_{1} v_{1}+...+\alpha_{n} v_{n})=\alpha'_{1} w_{1}+...+\alpha'_{n} w_{n}[/mm]
>
> mit [mm]\alpha_{1} v_{1}+...+\alpha_{n} v_{n}=0[/mm] (nicht nur
> triviale Lösung also mind. ein [mm]\alpha_{i}\not=0)[/mm]
> und [mm]\alpha'_{1} w_{1}+...+\alpha'_{n} w_{n}=0[/mm] (nicht nur
> triviale Lösung also mind. ein [mm]\alpha'_{i}\not=0)[/mm]
> Allerdings habe ich selbst noch nicht so richtig
> verstanden, warum ich hier was tue.
man fängt so an:
Weil [mm] $v_1,\ldots,v_n$ [/mm] linear abhängig sind, gibt es [mm] $\alpha_1,\ldots,\alpha_n$, [/mm] nicht alle $=0$, so dass [mm] $\sum_{k=1}^n \alpha_kv_k=0\,.$ [/mm] (Man spricht auch von einer nichttrivialen Darstellung des Nullvektors (mithilfe der [mm] $v_j$'s).)
[/mm]
Zu zeigen ist nun, dass [mm] $f(v_1),\ldots,f(v_n)$ [/mm] linear abhängig sind, also dass es eine Darstellung [mm] $\sum_{k=1}^n \alpha_k' f(v_k)=0$ [/mm] so gibt, dass die [mm] $\alpha_k'$s [/mm] nicht alle verschwinden.
Du hast bei Dir geschrieben: [mm] $\alpha_i$ [/mm] soll nicht [mm] $=0\,$ [/mm] sein und willst folgern, dass dann auch [mm] $\alpha_i'\not=0$ [/mm] ist. I.a. müßten diese (beiden) [mm] $i\,$'s [/mm] beim Ansatz aber nicht gleich sein. Mache Dir das am besten nochmal klar.
> Diese Aufgabe quält
> mich, dabei gingen alle anderen recht gut von der Hand.
> Ich habe noch mal im Skript gestöbert (hat nicht wirklich
> geholfen) aber muss ich auch f(x+y)=f(x)+f(y) und [mm]f(\alpha x)=\alpha[/mm]
> f(x) mit in meinen Beweis reinbasteln?
Ja, denn anstatt dieses "komplizierte Gebilde"
[mm] $$f(\sum_{k=1}^n \alpha_kv_k)=\sum_{k=1}^n \alpha_k'w_k\,.$$ [/mm]
solltest Du lieber
[mm] $$(\*)\;\;\;f(\sum_{k=1}^n \alpha_k v_k)=\sum_{k=1}^n \alpha_k f(v_k)$$
[/mm]
wegen der Linearität von [mm] $f\,$ [/mm] schreiben. Außerdem ist zu beachten, dass lineare Abbildungen den Nullvektor stets auf den Nullvektor abbilden.
Fangen wir also mit dem Beweis nochmal an:
Es sei [mm] $0=\sum_{k=1}^n \alpha_k v_k$ [/mm] eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors mithilfe der [mm] $v_j$'s. [/mm] Rechne nun
[mm] $$0=f(0)=f(\sum_{k=1}^n \alpha_k v_k)$$
[/mm]
und mit [mm] $(\*)$ [/mm] erhältst Du dann eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors mithilfe der [mm] $f(v_j)$'s. [/mm] Und dann siehst Du auch, dass diese beiden [mm] $i\,$'s, [/mm] von den ich oben gesagt habe, dass sie i.a. nicht gleich sein müßten, hier aber doch auch gleich sind (sein können).
Beste Grüße,
Marcel
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