limes superior und inferior < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie jeweils den limes superior und den limes inferior der Folge [mm] \{x_n\}\subset\IR.
[/mm]
a) [mm] x_n=1+\bruch{1}{n}, [/mm] falls n gerde, und [mm] x_n= 1+n^n, [/mm] falls n ungerade
b) [mm] x_n=17+n^1^8-n^1^9+n^2^0-n^2^1 [/mm] |
Hallo :)
Wir haben in der Vorlesung leider nicht definiert, was der limes superior und was der limes inferior ist. Wenn ich im Internet danach suche, wird leider nirgends wirklich erklärt, wie man die Beiden berechnet oder es ist immer von einem Häufigkeitspunkt die rede, aber dieser ist ja in meiner Aufgabenstellung gar nicht verlangt.
Ich bin um jede Hilfe sehr dankbar!!
Lieben Gruß
Katrin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:14 Mo 27.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Bestimmen Sie jeweils den limes superior und den limes
> inferior der Folge [mm]\{x_n\}\subset\IR.[/mm]
>
> a) [mm]x_n=1+\bruch{1}{n},[/mm] falls n gerde, und [mm]x_n= 1+n^n,[/mm] falls
> n ungerade
>
> b) [mm]x_n=17+n^1^8-n^1^9+n^2^0-n^2^1[/mm]
> Hallo :)
>
> Wir haben in der Vorlesung leider nicht definiert, was der
> limes superior und was der limes inferior ist.
Echt ! Kaum unglaublich !
> Wenn ich im
> Internet danach suche, wird leider nirgends wirklich
> erklärt, wie man die Beiden berechnet oder es ist immer
> von einem Häufigkeitspunkt
Aua !!! Gemeint ist "Häufungspunkt"
> die rede, aber dieser ist ja in
> meiner Aufgabenstellung gar nicht verlangt.
> Ich bin um jede Hilfe sehr dankbar!!
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in [mm] \IR [/mm] und $a [mm] \in \IR\cup\{\pm\infty\}$
[/mm]
$a$ nennt man einen Häufungspunkt von [mm] (x_n), [/mm] wenn es eine Teilfolge [mm] (x_{n_k}) [/mm] von [mm] (x_n) [/mm] gibt mit
[mm] $x_{n_k} \to [/mm] a$ für $k [mm] \to \infty$.
[/mm]
Der Limes Superior der Folge [mm] (x_n) [/mm] ist der größte Häufungspunkt der Folge
und
der LimesInferior der Folge [mm] (x_n) [/mm] ist der kleinste Häufungspunkt der Folge.
FRED
>
> Lieben Gruß
>
> Katrin
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Tut mir leid, aber woher soll ich das wissen, wenn es nicht im Skript steht..
Wird vllt noch kommen, aber das bringt mir jetzt grade auch nichts.
Kann mir dann vllt trotzdem jemand bei der b) helfen?
Lieben Gruß
Katrin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Mo 27.04.2015 | | Autor: | fred97 |
> Tut mir leid, aber woher soll ich das wissen, wenn es nicht
> im Skript steht..
> Wird vllt noch kommen, aber das bringt mir jetzt grade auch
> nichts.
>
> Kann mir dann vllt trotzdem jemand bei der b) helfen?
>
> Lieben Gruß
>
> Katrin
Wo hast Du denn Probleme mit den Definitionen, die ich Dir gegeben habe ?
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mo 27.04.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo Katti,
> Tut mir leid, aber woher soll ich das wissen, wenn es nicht
> im Skript steht..
das ist ein Unding des Dozenten, zumal Fred zwar - meines Erachtens
nach - die gängigste, nicht aber einzig mögliche Definition gegeben hat.
Es gibt auch Charakterisierungen davon, die manche als Definition benutzen,
durchstöbere dazu etwa ![[]](/images/popup.gif) Kapitel 5.
Eigentlich muss Deine Lösung der Übungsaufgabe anfangen mit: "Da in der
Vorlesung zu dem Zeitpunkt, als ich die Übungsaufgabe bearbeitet habe,
der Limes superior noch nicht definiert war, orientiere ich mich an der
folgenden Definition... Entnommen aus (Skript/Buch/ ...)..."
> Wird vllt noch kommen, aber das bringt mir jetzt grade auch
> nichts.
>
> Kann mir dann vllt trotzdem jemand bei der b) helfen?
Wir machen das mal anders: Es sei
[mm] $a_n:=\begin{cases} 0, & \mbox{falls } 3 \mbox{ ein Teiler von }n \text{ ist} \\ 1+1/n, & \mbox{falls bei der Division von n durch 3 Rest 1 bleibt}\\ -\pi+(-1)^n/n, &\text{sonst} \end{cases}$
[/mm]
Fragen an Dich: Kannst Du die Menge aller Häufungspunkte von [mm] $(a_n)$ [/mm]
1.) angeben?
Und dann
2.) auch beweisen, dass Deine Menge genau die Häufungspunkte enthält?
Zudem gebe ich Dir mal eine weitere Folge an: Seien [mm] $b_n$ [/mm] definiert entsprechend
dem folgenden Schema
1,
1, 2,
1, 2, 3,
1, 2, 3, 4
...
D.h.
[mm] $b_1=1\,,$ [/mm]
[mm] $b_2=1\,,$ $b_3=2\,,$
[/mm]
[mm] $b_4=1\,,$ $b_5=2\,,$ $b_6=3\,,$
[/mm]
[mm] $b_7=1\,,$ $b_8=2\,,$ $b_9=3\,,$ $b_{10}=4\,,$
[/mm]
...
(ich hoffe, nun ist klar, wie es weitergeht; ich kann Dir auch ein anderes
Schema hinschreiben, wo wir vielleicht besser eine explizite Darstellung
finden würden...).
Wie sieht die Menge der Häufungspunkte von [mm] $(b_n)$ [/mm] aus?
Zudem: Sei [mm] $c_n:=b_n+1/n\,.$ [/mm] Gleiche Frage für [mm] $(c_n)$!
[/mm]
P.S. Bei [mm] $(b_n)$ [/mm] und [mm] $(c_n)$ [/mm] reicht erstmal die Angabe der Menge der
Häufungspunkte. Vielleicht überlegst Du Dir auch bei [mm] $(b_n)$ [/mm] danach mal, warum
Deine Angabe auch *stimmt* - d.h. dass Du weder *falsche HP* genannt hast,
noch, dass Du welche vergessen hast. (Wie bei 2.) oben!)
Gruß,
Marcel
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