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| Aufgabe | Berechnen Sie [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup (a_n) [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}inf (a_n) [/mm] der Folge [mm] (a_n), [/mm] die definiert ist durch:
[mm] a_n:=\bruch{n+(-1)^n(2n+1)}{n} [/mm] für alle [mm] n\in \IN [/mm] |
Hallo, bräuchte mal ein wenig hilfe bei dieser aufgabe, bin noch absolut unfit in analysis. Also in meinem Skript steht, ich soll alle Häufungspunkte finden und dann ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup (a_n) [/mm] = sup(A) wobei A die Menge aller Häufungspunkte ist.
Ich hab jetzt zunächst mal etwas umgeformt und durch n gekürzt, also
[mm] a_n:=\bruch{n+(-1)^n(2n+1)}{n} [/mm] = [mm] \bruch{n+(-1)^n(2n)+(-1)^n}{n}=1+2(-1)^n+\bruch{(-1)^n}{n}
[/mm]
jetzt gibt es ja eigentlich nur 2 fälle, die interessant sind, nämlich n gerade oder ungerade:
für gerade n ist [mm] 1+2(-1)^n+\bruch{(-1)^n}{n}=1+2(1)+\bruch{1}{n}=3+\bruch{1}{n} \to [/mm] 3 für n [mm] \to \infty
[/mm]
für ungerade n [mm] 1+2(-1)^n+\bruch{(-1)^n}{n}=1+2(-1)+\bruch{-1}{n}=-1-\bruch{1}{n} \to [/mm] -1 für n [mm] \to \infty
[/mm]
Das heißt es gibt 2 Häufungspunkte und es ist A={-1,3} und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup (a_n)=3 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}inf (a_n)=-1
[/mm]
Da ich sowas zum ersten mal gerechnet hab, bin ich etwas kritisch was die korrektheit angeht, wäre nett wenn das mal jemand überprüfen könnte.
Besten dank schon mal im voraus.
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Hallo rainman,
> Berechnen Sie [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup (a_n)[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}inf (a_n)[/mm] der Folge [mm](a_n),[/mm] die
> definiert ist durch:
>
> [mm]a_n:=\bruch{n+(-1)^n(2n+1)}{n}[/mm] für alle [mm]n\in \IN[/mm]
> Hallo,
> bräuchte mal ein wenig hilfe bei dieser aufgabe, bin noch
> absolut unfit in analysis. Also in meinem Skript steht, ich
> soll alle Häufungspunkte finden und dann ist
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup (a_n)[/mm] = sup(A) wobei A die
> Menge aller Häufungspunkte ist.
> Ich hab jetzt zunächst mal etwas umgeformt und durch n
> gekürzt, also
> [mm]a_n:=\bruch{n+(-1)^n(2n+1)}{n}[/mm] =
> [mm]\bruch{n+(-1)^n(2n)+(-1)^n}{n}=1+2(-1)^n+\bruch{(-1)^n}{n}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> jetzt gibt es ja eigentlich nur 2 fälle, die interessant
> sind, nämlich n gerade oder ungerade:
> für gerade n ist
> [mm]1+2(-1)^n+\bruch{(-1)^n}{n}=1+2(1)+\bruch{1}{n}=3+\bruch{1}{n} \to[/mm]
> 3 für n [mm]\to \infty[/mm]
> für ungerade n
> [mm]1+2(-1)^n+\bruch{(-1)^n}{n}=1+2(-1)+\bruch{-1}{n}=-1-\bruch{1}{n} \to[/mm]
> -1 für n [mm]\to \infty[/mm]
> Das heißt es gibt 2 Häufungspunkte und
> es ist A={-1,3} und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup (a_n)=3[/mm]
> und [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}inf (a_n)=-1[/mm]
> Da ich sowas
> zum ersten mal gerechnet hab, bin ich etwas kritisch was
> die korrektheit angeht, wäre nett wenn das mal jemand
> überprüfen könnte.
> Besten dank schon mal im voraus.
Das sieht doch sehr gut aus ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:11 Sa 26.04.2008 | | Autor: | rainman_do |
das kommt überraschend  danke sehr
mfg
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