limes bestimmen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:15 Mi 07.04.2010 | | Autor: | kiwibox |
Hallo...
ich habe eine Frage bzgl. Limesbestimmung:
wie kann ich zeigen das [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n}}{n!} \to [/mm] 0.
Augenscheinlich ist klar das n! schneller wächst als [mm] 2^{n}.
[/mm]
Ich habe es auch erst probiert 0 [mm] \ge \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] = [mm] \produkt_{k=1}^{n} \bruch{2}{n} [/mm] um zuschreiben....
[mm] \produkt_{k=1}^{n}\bruch{2}{n}=\bruch{2}{1} \cdot \bruch{2}{2} \cdot \bruch{2}{3} \cdot \bruch{2}{4} \cdot \ldots \cdot \bruch{2}{n} \le [/mm] 2 [mm] \cdot [/mm] 1 [mm] \cdot \bruch{2}{n} [/mm] = [mm] \bruch{4}{n} \to [/mm] 0
kann man das so beweisen, oder gibt es eine andere bessere Methode?
MFG kiwibox
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:53 Mi 07.04.2010 | | Autor: | statler |
Hi!
> ich habe eine Frage bzgl. Limesbestimmung:
> wie kann ich zeigen das [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{n}}{n!} \to[/mm]
> 0.
Nun ja, für n > 3 ist jedenfalls [mm] \bruch{2^{n}}{n!} [/mm] < [mm] \bruch{2^{n-1}}{3^{n-2}} [/mm] = [mm] 2*(\bruch{2}{3})^{n-2}
[/mm]
Also bleibt zu klären: Wann gilt [mm] 1,5^{n-2} [/mm] > [mm] 2/$\varepsilon$?
[/mm]
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
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