lim sup, lim inf < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Fr 16.11.2012 | | Autor: | zjay |
| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine Folge in [mm] \IR. [/mm] Es gebe c,C > 0 mit c < [mm] a_{n} [/mm] < C für alle n [mm] \in \IN. [/mm] Zeigen Sie:
[mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}sup(a_{n}))*(\limes_{n\rightarrow\infty}inf (\bruch{1}{a_{n}})) [/mm] = 1
b) Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine beschränkte Folge. Zeigen Sie:
-lim [mm] sup_{n -> \infty} a_{n} [/mm] ist der größte Häufungspunkt für [mm] (a_{n}).
[/mm]
-lim [mm] inf_{n -> \infty} a_{n} [/mm] ist der kleinste Häufungspunkt für [mm] (a_{n}). [/mm] |
Guten Tag,
diese allgemeinen, abstrakten Aufgaben probiere ich normalerweise zu meiden so gut es geht, aber das nehme ich mal als anlass mich möglichst intensiv mit dieser Aufgabe zu beschäftigen, damit ich hoffentlich in Zukunft keine Probleme mit solchen Aufgaben haben werde.
Meine Gedanken:
Es liegt eine beschränkte (nach oben wie auch nach unten) und konvergente Folge [mm] a_{n} [/mm] vor, da eine Folge konvergent ist, wenn
[mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}sup(a_{n})) [/mm] = [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}inf(a_{n})) [/mm] gilt. Daraus folgt, dass [mm] (\limes_{n\rightarrow\infty}sup(a_{n}))*(\limes_{n\rightarrow\infty}inf \bruch{1}{a_{n}})=1 [/mm] sein muss. Genau dies ist zu zeigen.
Ferner gehe ich davon aus, das c der Häufungspunkt vom lim inferior und C der Häufungspunkt vom limes superior ist.
Danach treffe ich die Annahme, dass C als Häufungspunkt des limes superior * c als Häufungspunkt des limes inferior = 1 sein muss:
C * 1/c = 1
[mm] \gdw [/mm] C = c
Dies wären jetzt meine Gedanken. Wie genau ich zeige, dass C der größte Häufungspunkt ist oder c der kleinste, weiß ich noch nicht genau.
Aber ich würde gerne erstmal wissen ob der Ansatz richtig ist.
zu b) werde ich mir noch Gedanken machen, aber ich vermute, dass b) auf a) aufbaut, weswegen ich mich erstmal um a) kümmern werde.
grüße,
zjay
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:05 Fr 16.11.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
in a) ist nichts über [mm] a_n [/mm] konvergent gesagt
betrachte [mm] a_n=(-1)^n [/mm] oder [mm] a_n=(-1)^n+1/n
[/mm]
c=-1 C=1
du musst schon mit der Def von liminf und limsup arbeiten.
wo hast du denn das [mm] 1/a_n [/mm] verwendet?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:27 Fr 16.11.2012 | | Autor: | zjay |
Direkt wurde es nicht gesagt, aber ich habe es geschlussfolgert.
Aus einem Lehrbuch:
Ist die Folge [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] beschränkt, so existieren der Limes superior und Limes inferior. Die Folge ist genau dann konvergent, wenn lim sup [mm] a_{n} [/mm] = lim inf [mm] a_{n}. [/mm] Der gemeinsamte Grenzwert entspricht dann dem Grentwert der Folge.
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup(a_{n}) [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} inf(a_{n})
[/mm]
ich hoffe, dass diese Umformung erlaubt ist:
[mm] \gdw \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}sup(a_{n})}{\limes_{n\rightarrow\infty} inf(a_{n})} [/mm] = 1
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}sup(a_{n}) [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} inf(a^{-1}_{n}) [/mm] = 1
Wenn ich dies zeigen soll, kann ich von der Annahme ausgehen, dass die Folge [mm] a_{n} [/mm] konvergent ist.
Und jetzt zu deinem vorschlag:
"betrachte [mm] a_n=(-1)^n [/mm] oder [mm] a_n=(-1)^n+1/n [/mm]
c=-1 C=1
du musst schon mit der Def von liminf und limsup arbeiten.
wo hast du denn das [mm] 1/a_n [/mm] verwendet?"
Wenn ich davon ausgehe, dass c=-1 und C=1 ist und sie jeweils für den limes superior und limes inferior einsetze, erhalte ich aber
1 * (-1) [mm] \not= [/mm] 1, oder?
Oder wie meintest du das genau?
Gruß,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:35 Fr 16.11.2012 | | Autor: | fred97 |
> Direkt wurde es nicht gesagt, aber ich habe es
> geschlussfolgert.
>
> Aus einem Lehrbuch:
>
> Ist die Folge [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] beschränkt, so
> existieren der Limes superior und Limes inferior. Die Folge
> ist genau dann konvergent, wenn lim sup [mm]a_{n}[/mm] = lim inf
> [mm]a_{n}.[/mm] Der gemeinsamte Grenzwert entspricht dann dem
> Grentwert der Folge.
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup(a_{n})[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} inf(a_{n})[/mm]
>
> ich hoffe, dass diese Umformung erlaubt ist:
>
> [mm]\gdw \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}sup(a_{n})}{\limes_{n\rightarrow\infty} inf(a_{n})}[/mm]
> = 1
Nur wenn [mm] (a_n) [/mm] konvergent ist und der GW [mm] \ne [/mm] 0 ist.
>
> [mm]\gdw \limes_{n\rightarrow\infty}sup(a_{n})[/mm] *
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} inf(a^{-1}_{n})[/mm] = 1
NEIN; NEIN Woher hast Du das ?
>
> Wenn ich dies zeigen soll, kann ich von der Annahme
> ausgehen, dass die Folge [mm]a_{n}[/mm] konvergent ist.
Nein !!
FRED
>
> Und jetzt zu deinem vorschlag:
>
> "betrachte [mm]a_n=(-1)^n[/mm] oder [mm]a_n=(-1)^n+1/n[/mm]
> c=-1 C=1
> du musst schon mit der Def von liminf und limsup arbeiten.
> wo hast du denn das [mm]1/a_n[/mm] verwendet?"
>
> Wenn ich davon ausgehe, dass c=-1 und C=1 ist und sie
> jeweils für den limes superior und limes inferior
> einsetze, erhalte ich aber
>
> 1 * (-1) [mm]\not=[/mm] 1, oder?
>
> Oder wie meintest du das genau?
>
> Gruß,
>
> zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:54 Fr 16.11.2012 | | Autor: | zjay |
Dann hab ich mir das wohl aus den Fingern gesaugt.
okay gut, dann stehe ich jetzt wieder am Anfang.
Dann mache ich mal ein paar weitere Vorschläge:
lim [mm] sup_{n \to \infty} [/mm] = C,
da für [mm] \epsilon [/mm] > 0 und m [mm] \in \IN [/mm] gilt
i) [mm] a_{n} [/mm] < C + [mm] \epsilon
[/mm]
ii) [mm] a_{m} [/mm] < C - [mm] \epsilon
[/mm]
analog dazu gilt:
lim [mm] inf_{n \to \infty} [/mm] = c,
wenn für [mm] \epsilon [/mm] > 0 und m [mm] \in \IN [/mm] gilt:
i) [mm] a_{n} [/mm] > c + [mm] \epsilon
[/mm]
ii) [mm] a_{m} [/mm] < c - [mm] \epsilon.
[/mm]
dies kann ich jetzt aber erstmal annehmen, oder?
Jetzt wirds ein wenig haarsträubender:
Ich nehme an, dass [mm] C^{-1} [/mm] = c ist.
aus lim [mm] sup_{n \to \infty} [/mm] * lim [mm] inf_{n \to \infty} [/mm] =1
folgt C * c = 1
[mm] \gdw [/mm] C * [mm] C^{-1} [/mm] = 1
Ist das jetzt schon wieder Humbug? Wenn ja, brauche ich wirklich mehr Unterstützung von euch, weil ich mich sonst an dieser Aufgabe festbeißen werde =/
| Aufgabe | b) Sei [mm] (a_{n}) [/mm] eine beschränkte Folge. Zeigen Sie:
-lim [mm] sup_{n -> \infty} a_{n} [/mm] ist der größte Häufungspunkt für [mm] (a_{n}). [/mm]
-lim [mm] inf_{n -> \infty} a_{n} [/mm] ist der kleinste Häufungspunkt für [mm] (a_{n}). [/mm] |
Mein Ansatz sieht wie folgt aus:
- zeigen dass a ein Häufungspunkt
- a ist der größte/kleinste Häufungspunkt
a ist Häufungspunkt der Folge [mm] a_{n}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 und jedem [mm] n_{0} \in \IN [/mm] gibt es ein n [mm] \ge n_{0} [/mm] mit [mm] |a_{n} [/mm] - a | < [mm] \epsilon.
[/mm]
[mm] \gdw \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \forall n_{0} \in \IN \exists [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] : n [mm] \ge n_{0} \wedge |a_{n} [/mm] - a | < [mm] \epsilon.
[/mm]
[mm] \gdw a_{n} [/mm] liegt immer wieder in jeder Umgebung von a.
Als nächstes müsste ich zeigen, dass a der größte/kleinste Häufungspunkt ist.
Wie mache ich das denn am besten? Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich die Definition für den limsup und liminf miteinfließen lassen muss, der wie folgt lautet:
Sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine Folge reeller Zahlen. dann definiert man
[mm] limsup_{n \to \infty}a_{n} :=lim_{n \to \infty}(sup{a_{k}:k \ge n}).
[/mm]
für das infimum ist es analog definiert.
Wie ich das jetzt miteinbauen weiß ich gerad noch nicht ...
mfg,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Fr 16.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo zjay,
> lim [mm]sup_{n \to \infty}[/mm] = C,
Leider nein. Betrachte z.B. [mm] $a_n:=a$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] für irgendein $c<a<C$.
> Jetzt wirds ein wenig haarsträubender:
>
> Ich nehme an, dass [mm]C^{-1}[/mm] = c ist.
Nein. Betrachte etwas die Folge gegeben durch [mm] $a_n:=5$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit $c=1$ und $C=6$.
> aus lim [mm]sup_{n \to \infty}[/mm] * lim [mm]inf_{n \to \infty}[/mm] =1
Das willst du doch erst zeigen.
> Ist das jetzt schon wieder Humbug? Wenn ja, brauche ich
> wirklich mehr Unterstützung von euch, weil ich mich sonst
> an dieser Aufgabe festbeißen werde =/
Wie habt ihr denn den Limes Inferior und den Limes Superior definiert?
(Sorry, dass ich erst einmal nicht mehr Hinweise geben kann. Das macht erst Sinn, wenn ich weiß von welcher Definition ich auszugehen habe.)
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Fr 16.11.2012 | | Autor: | zjay |
siehe letztes update meiner frage in b)
da habe ich die definition aufgeschrieben,
mfg zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Fr 16.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
1. Zeige [mm] $\sup\{a_{k}:k \ge n\}*\inf\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}=1$ [/mm] für alle [mm] $n\in\IN$.
[/mm]
Zeige dazu, dass [mm] $\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}\ge [/mm] c>0$ gilt und [mm] $\bruch1{\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}}$ [/mm] die größte untere Schranke von [mm] $\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}$ [/mm] ist.
2. Folgere die Behauptung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:56 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> 1. Zeige [mm]\sup\{a_{k}:k \ge n\}*\inf\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}=1[/mm]
> für alle [mm]n\in\IN[/mm].
>
> Zeige dazu, dass [mm]\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}\ge c>0[/mm] gilt und
> [mm]\bruch1{\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}}[/mm] die kleinste untere
> Schranke von [mm]\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}[/mm] ist.
Es muß heißen "... die größte untere Schranke...".
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Wolfgang,
oh, danke! Ich habe es korrigiert.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:27 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo zjay,
> - zeigen dass a ein Häufungspunkt
> - a ist der größte/kleinste Häufungspunkt
Genau! Und diese beiden Teilaussagen müssen wir für [mm] $a=\limsup a_n$ [/mm] zeigen.
> a ist Häufungspunkt der Folge [mm]a_{n}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 und jedem [mm]n_{0} \in \IN[/mm] gibt es
> ein n [mm]\ge n_{0}[/mm] mit [mm]|a_{n}[/mm] - a | < [mm]\epsilon.[/mm]
>
> [mm]\gdw \forall \epsilon[/mm] > 0 [mm]\forall n_{0} \in \IN \exists[/mm] n
> [mm]\in \IN[/mm] : n [mm]\ge n_{0} \wedge |a_{n}[/mm] - a | < [mm]\epsilon.[/mm]
>
> [mm]\gdw a_{n}[/mm] liegt immer wieder in jeder Umgebung von a.
>
Dies ist nur die Definition des Begriffs "Häufungspunkt" aber noch kein Beweis Deiner ersten Teilaussage.
Hierzu sei [mm] $b_n=\sup\{a_k\colon k\ge n\}\,.$ [/mm] Die Folge [mm] $(b_n)$ [/mm] fällt monoton und konvergiert gegen [mm] $a=\limsup a_n\,.$
[/mm]
Um zu zeigen, daß $a$ ein Häufungspunkt der Folge [mm] $(a_n)$ [/mm] ist, seien [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ und [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] vorgegeben. Wegen [mm] $b_n \to [/mm] a$ gibt es ein [mm] $m\ge n_0$ [/mm] mit [mm] $a+\epsilon [/mm] > [mm] b_m\,.$ [/mm] Nach der Definition des Supremums gibt es ein [mm] $k\ge [/mm] m$ mit
[mm] $b_m \ge a_k [/mm] > [mm] b_m [/mm] - [mm] \epsilon\;.$ [/mm] Da [mm] $(b_n)$ [/mm] monoton fällt, erhalten wir:
[mm] $a+\epsilon [/mm] > [mm] b_m \ge a_k [/mm] > [mm] b_m-\epsilon \ge a-\epsilon\,.$
[/mm]
Damit haben wir die erste Teilaussage bewiesen!
> Als nächstes müsste ich zeigen, dass a der
> größte/kleinste Häufungspunkt ist.
> Wie mache ich das denn am besten? Ich bin mir ziemlich
> sicher, dass ich die Definition für den limsup und liminf
> miteinfließen lassen muss, der wie folgt lautet:
>
> Sei [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine Folge reeller Zahlen. dann
> definiert man
>
> [mm]limsup_{n \to \infty}a_{n} :=lim_{n \to \infty}(sup{a_{k}:k \ge n}).[/mm]
>
> für das infimum ist es analog definiert.
>
> Wie ich das jetzt miteinbauen weiß ich gerad noch nicht
Nimm an, es gäbe einen Häufungspunkt $b>a$ und führe dies zu einem Widerspruch.
Gruß,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:49 Sa 17.11.2012 | | Autor: | zjay |
okay, danke für eure tipps. Ich werde mir jetzt erstmal zeit nehmen mir eure Aussagen zu Gemüte zu führen.
Grüße,
zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 Sa 17.11.2012 | | Autor: | zjay |
zu a)
Ich hoffe ich nerve nicht, wenn ich es jetzt gerne genauer hätte. Ich habe jetzt schon in mehreren Büchern nachgeschlagen um mir noch einmal anzuschauen wie man genau zeigt, dass a z.B. Schranke von einer Folge [mm] a_{k} [/mm] ist, bin mir aber noch nicht sicher wie das geht. (Ich hatte das im Übrigen bei meiner damiligen Übung auch nicht richtig gemacht).
Also für [mm] sup{a_{k}|k \ge n} \ge [/mm] c > 0 kann ich ersteinmal sagen, dass c > 0 schon aus der Aufgabenstellung folgt. Bleibt also nur noch der erste Teil mit [mm] sup{a_{k}|k \ge n} \ge [/mm] c zu zeigen.
Vom Prinzip her muss ich doch nur behaupten, dass [mm] a_{k} [/mm] kleinste obere Schranke von [mm] a_{k} [/mm] ist, oder? Um dies zu zeigen, muss ich eine beliebite weitere Schranke K nehmen und zeigen, dass diese größer als [mm] a_{k} [/mm] (oder gleich) ist.
Wie mache ich das genau?
Gruß,
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:32 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo zjay,
> zu a)
>
> Ich hoffe ich nerve nicht, wenn ich es jetzt gerne genauer
> hätte. Ich habe jetzt schon in mehreren Büchern
> nachgeschlagen um mir noch einmal anzuschauen wie man genau
> zeigt, dass a z.B. Schranke von einer Folge [mm]a_{k}[/mm] ist, bin
> mir aber noch nicht sicher wie das geht. (Ich hatte das im
> Übrigen bei meiner damiligen Übung auch nicht richtig
> gemacht).
>
> Also für [mm]sup{a_{k}|k \ge n} \ge[/mm] c > 0 kann ich ersteinmal
> sagen, dass c > 0 schon aus der Aufgabenstellung folgt.
> Bleibt also nur noch der erste Teil mit [mm]sup{a_{k}|k \ge n} \ge[/mm]
> c zu zeigen.
>
> Vom Prinzip her muss ich doch nur behaupten, dass [mm]a_{k}[/mm]
> kleinste obere Schranke von [mm]a_{k}[/mm] ist, oder? Um dies zu
> zeigen, muss ich eine beliebite weitere Schranke K nehmen
> und zeigen, dass diese größer als [mm]a_{k}[/mm] (oder gleich)
> ist.
Nein. Dies ist nicht so das Gelbe vom Ei!
>
> Wie mache ich das genau?
Du willst zeigen, daß [mm] $b_n [/mm] := [mm] \sup \{a_k \colon n\le k\} [/mm] > c$ ist. Weil [mm] $b_n$ [/mm] eine obere Schranke der Menge ist und [mm] $a_n$ [/mm] ein Element derselben ist, ist [mm] $b_n\ge a_n$. [/mm] Und nach Voraussetzung ist [mm] $a_n [/mm] > c$, also [mm] $b_n [/mm] > c$ für alle $n$. Mit den Grenzwertsätzen folgt [mm] $\lim b_n [/mm] = [mm] \limsup a_n \ge [/mm] c$. Ok?
Wenn Du mit Suprema arbeitest, brauchst Du manchmal, daß das Supremum s eine obere Schranke der betrachteten Menge ist und manchmal, daß die Menge keine kleinere obere Schranke als s hat. Oben haben wir nur die erste Eigenschaft gebraucht.
Die zweite Eigenschaft des Supremums nutzt man so aus: Zu jedem [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ gibt es ein Element a der Menge, so daß $a > [mm] s-\epsilon$ [/mm] ist. Wenn es für ein [mm] $\epsilon$ [/mm] kein solches a gäbe, wäre [mm] $s-\epsilon$ [/mm] ja auch eine obere Schranke der Menge, und diese wäre kleiner als $s$.
Gruß,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Sa 17.11.2012 | | Autor: | zjay |
Abgesehen von dem einen Schritt, wo du [mm] $\lim b_n [/mm] = [mm] \limsup a_n \ge [/mm] c gesetzt hast, habe ich alles verstanden. Auf welchen der Grenzwertsätze beziehst du dich? Ich kenne nur vier.
edit:
Für den zweiten Teil des Beweises muss gezeigt werden, dass [mm] \bruch{1}{sup\{a_{k}|k \ge n}\} [/mm] größte untere Schranke von [mm] \bruch{1}{(a_{k}|k \ge n)} [/mm] ist.
Ich definiere [mm] c_{n} [/mm] := [mm] \bruch{1}{sup\{a_{k}|k \ge n}\}
[/mm]
[mm] c_{n} [/mm] ist größte untere Schranke, woraus folgt dass [mm] c_{n} \le a_{n} [/mm] < C gilt.
Und jetzt müsste wieder der Teil mit den Grenzwertsätzen kommen, den ich noch nicht verstanden hab.
mfg zjay
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:53 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Abgesehen von dem einen Schritt, wo du [mm]$\lim b_n[/mm] = [mm]\limsup a_n \ge[/mm]
> c gesetzt hast, habe ich alles verstanden. Auf welchen der
> Grenzwertsätze beziehst du dich? Ich kenne nur vier.
Sei [mm] $(b_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen und [mm] $c\in\IR$.
[/mm]
Gilt für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] jeweils [mm] $b_n\ge [/mm] c$, so gilt auch [mm] $\lim_{n\to\infty}b_n\ge [/mm] c$.
(Falls du genau nach meiner vorgeschlagenen Argumentation vorgehst, brauchst du diese Überlegung gar nicht.)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Sa 17.11.2012 | | Autor: | zjay |
Seltsam, an diesen Grenzwertsatz kann ich mich nicht erinnern.
oh, das war gerad blödes timing. kurz nachdem du deine antwort gepostet hast, hab ich noch was bei meiner frage editiert:
hier nochmal:
edit:
Für den zweiten Teil des Beweises muss gezeigt werden, dass [mm] \bruch{1}{sup\{a_{k}|k \ge n}\} [/mm] größte untere Schranke von [mm] \bruch{1}{(a_{k}|k \ge n)} [/mm] ist.
Ich definiere [mm] c_{n} [/mm] := [mm] \bruch{1}{sup\{a_{k}|k \ge n}\}
[/mm]
[mm] c_{n} [/mm] ist größte untere Schranke, woraus folgt dass [mm] c_{n} \le a_{n} [/mm] < C gilt.
Und jetzt müsste wieder der Teil mit den Grenzwertsätzen kommen, den ich jetzt scheinbar nicht benötige?
mfg
zjay
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:18 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> edit:
>
> Für den zweiten Teil des Beweises muss gezeigt werden,
> dass [mm]\bruch{1}{sup\{a_{k}|k \ge n}\}[/mm] größte untere
> Schranke von [mm]\bruch{1}{(a_{k}|k \ge n)}[/mm] ist.
>
> Ich definiere [mm]c_{n}[/mm] := [mm]\bruch{1}{sup\{a_{k}|k \ge n}\}[/mm]
>
> [mm]c_{n}[/mm] ist größte untere Schranke,
Genau das ist zu zeigen. Zeige nacheinander:
(i) [mm] $c_n$ [/mm] ist eine untere Schranke von [mm] $\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}$.
[/mm]
(ii) Wenn [mm] $K\in\IR$ [/mm] eine weitere untere Schranke ist, so gilt [mm] $c_n\ge [/mm] K$.
> woraus folgt dass [mm]c_{n} \le a_{n}[/mm]
Nein.
> Und jetzt müsste wieder der Teil mit den Grenzwertsätzen
> kommen, den ich jetzt scheinbar nicht benötige?
Wenn du gezeigt hast, dass [mm] c_n [/mm] die größte untere Schranke von [mm] $\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}$ [/mm] ist, also [mm] $c_n=\inf\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}$ [/mm] gilt, dann gilt nach Definition von [mm] $c_n$ [/mm] ja [mm] $\bruch1{\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}}=\inf\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}$, [/mm] also [mm] $\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}*\inf\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}=1$.
[/mm]
Diese Überlegung gilt für alle [mm] $n\in\IN$. [/mm] Dann kannst du einen deiner vier Grenzwertsätze auf die Folgen konvergenten Folgen [mm] $(\sup\{a_k\;|\;k\ge n\})_{n\in\IN}$ [/mm] und [mm] $(\inf\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\})_{n\in\IN}$ [/mm] loslassen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Sa 17.11.2012 | | Autor: | zjay |
ok, dann nehme ich mal helbigs argumentation wortgetreu um (i) und (ii) zu zeigen:
Weil [mm] $c_n$ [/mm] eine untere Schranke der Menge ist und [mm] $a_n$ [/mm] ein Element derselben ist, ist [mm] $c_n\ge a_n$. [/mm] Und nach Voraussetzung ist [mm] $a_n [/mm] < C$, also [mm] $b_n [/mm] < C$ für alle $n$. Mit den Grenzwertsätzen folgt [mm] $\lim c_n [/mm] = [mm] \limsup a_n \ge [/mm] C$.
Ist diese Form der Argumentation denn zulässig oder nicht? Oder ist sowas quasi nur eine Art Anweisung, die noch ausgeführt werden muss?
mfg
zjay
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:23 Sa 17.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> ok, dann nehme ich mal helbigs argumentation wortgetreu um
> (i) und (ii) zu zeigen:
Wenn ich mich richtig erinnere, wollte helbig doch nur [mm] $\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}\ge [/mm] c$ zeigen. Es ist keine gute Idee, wenn du etwas ganz anderes zeigen möchtest, ohne Sinn und Verstand eine Argumentation wortgetreu zu verwenden.
> Weil [mm]c_n[/mm] eine untere Schranke der Menge ist
Das willst du doch gerade erst zeigen.
> und [mm]a_n[/mm] ein
> Element derselben ist,
Nein, [mm] $a_n$ [/mm] ist i.A. kein Element der Menge [mm] $\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}$.
[/mm]
> ist [mm]c_n\ge a_n[/mm].
Dann wäre [mm] $c_n\le a_n$.
[/mm]
> Und nach
> Voraussetzung ist [mm]a_n < C[/mm], also [mm]b_n < C[/mm] für alle [mm]n[/mm]. Mit
> den Grenzwertsätzen folgt [mm]\lim c_n = \limsup a_n \ge C[/mm].
Nein. Erinnere dich an die Definition der [mm] $c_n$. [/mm] Warum sollte [mm] $\lim c_n=\lim\sup a_n$ [/mm] gelten?
> Ist diese Form der Argumentation denn zulässig oder nicht?
> Oder ist sowas quasi nur eine Art Anweisung, die noch
> ausgeführt werden muss?
Sie ist so schlicht von vorne bis hinten falsch.
Um zu zeigen, dass [mm] c_n [/mm] eine untere Schranke von [mm] $\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}$ [/mm] ist, benötigst du zunächst die Definition der Aussage [mm] "$c_n$ [/mm] ist eine untere Schranke von [mm] $\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\}$".
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:32 So 18.11.2012 | | Autor: | zjay |
Okay, das habe ich mir fast schon gedacht. Ich fands anfangs seltsam, dass ich die Schranke vorausgesetzt habe anstatt sie zu zeigen, habe aber dann einfach angenommen, dass ich da irgendetwas noch nicht verstanden hätte.
Gut zu wissen, dass ich es in einem falschen Kontext benutzt habe.
Ich poste hier meine Ergebnisse wenn ich weitergekommen bin.
mfg
zjay
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 So 18.11.2012 | | Autor: | zjay |
So, ich hoffe jetzt, dass ich das ganze verstanden habe:
hier mein (hoffentlich letzter) anlauf zur lösung von a)
[mm] c_{n} \le 1/a_{k} [/mm] bedeutet, dass [mm] c_{n} [/mm] eine untere Schranke von { [mm] 1/a_{k} [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } ist.
für [mm] \epsilon [/mm] > 0 definieren wir [mm] \epsilon [/mm] := inf { [mm] 1/a_{k} [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } - [mm] c_{n}
[/mm]
Um zu beweisen, dass [mm] c_{n} [/mm] die größte untere Schranke ist, nehmen wir eine beliebige weitere untere Schranke K und zeigen, dass [mm] c_{n} \ge [/mm] K gilt.
K > inf { 1/a | k [mm] \ge [/mm] n } - [mm] \epsilon
[/mm]
für epsilon wird inf { [mm] 1/a_{k} [/mm] | k [mm] \ge [/mm] n } - [mm] c_{n} [/mm] eingesetzt
K > inf { 1/a | k [mm] \ge [/mm] n } - inf { [mm] 1/a_{k} [/mm] k [mm] \ge [/mm] n } + [mm] c_{n} [/mm]
K > [mm] c_{n}.
[/mm]
Und was danach kommt, hatten wir schon besprochen.
Stimmt dies so?
mfg
zjay
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:18 So 18.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> hier mein (hoffentlich letzter) anlauf zur lösung von a)
>
> [mm]c_{n} \le 1/a_{k}[/mm] bedeutet, dass [mm]c_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eine untere Schranke
> von $\{$ [mm]1/a_{k}[/mm] | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ ist.
Du hast richtig erkannt, dass für $c_n$ die Eigenschaft, untere Schranke dieser Menge zu sein, bedeutet: $c_n\le\bruch1{a_k}$ für alle $k\ge n$.
Nun gilt es, genau das zu zeigen.
Sei also $k\ge n$. Zu zeigen ist $c_n\le\bruch1{a_k}$.
Gleichbedeutend damit ist wegen $c_n>0$ (wegen $\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}>0$, wie wir bereits gezeigt haben) und $a_k\ge c>0$: $a_k\le \bruch{1}{c_n}$ (*).
Zeige also Aussage (*): Es gilt $\bruch1{c_n}=\ldots\ge a_k$. Verwende hier die Definition von $c_n$ und überlege, warum das $\ge$ stimmt.
> für [mm]\epsilon[/mm] > 0 definieren wir [mm]\epsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= inf $\{$ [mm]1/a_{k}[/mm]
> | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ - [mm]c_{n}[/mm]
Dann ist [mm] $\varepsilon\ge [/mm] 0$, aber nicht unbedingt [mm] $\varepsilon>0$. [/mm] Im Gegenteil: Wir versuchen gerade, [mm] $\varepsilon=0$ [/mm] zu zeigen.
> Um zu beweisen, dass [mm]c_{n}[/mm] die größte untere Schranke
> ist, nehmen wir eine beliebige weitere untere Schranke K
> und zeigen, dass [mm]c_{n} \ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
K gilt.
Genau.
> K > inf $\{$ 1/a | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ - [mm]\epsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nein.
> für epsilon wird inf $\{$ [mm]1/a_{k}[/mm] | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ - [mm]c_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> eingesetzt
>
> K > inf $\{$ 1/a | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ - inf $\{$ [mm]1/a_{k}[/mm] k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ +
> [mm]c_{n}[/mm]
>
> K > [mm]c_{n}.[/mm]
Das wäre schlecht. Wir wollen nämlich genau das Gegenteil zeigen.
> Und was danach kommt, hatten wir schon besprochen.
Wenn ich gerade nichts übersehe: Nicht ganz.
Hier habe ich dir ganz unten den Schluss des Beweises der Behauptung überlassen. Diesen Teil hast du hier zumindest noch nicht präsentiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 So 18.11.2012 | | Autor: | zjay |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nun gilt es, genau das zu zeigen.
Sei also $k\ge n$. Zu zeigen ist $c_n\le\bruch1{a_k}$.
Gleichbedeutend damit ist wegen $c_n>0$ (wegen $\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}>0$, wie wir bereits gezeigt haben) und $a_k\ge c>0$: $a_k\le \bruch{1}{c_n}$ (*).
Zeige also Aussage (*): Es gilt $\bruch1{c_n}=\ldots\ge a_k$. Verwende hier die Definition von $c_n$ und überlege, warum das $\ge$ stimmt.
c_{n} in \bruch{1}{c_{n}} eingesetzt ergibt sup {a_{k}|k \ge n}. Dass das supremum \ge a_{k} gelten muss, ist dann logisch, da das supremum kleinste obere Schranke ist.
> Um zu beweisen, dass c_{n} die größte untere Schranke
> ist, nehmen wir eine beliebige weitere untere Schranke K
> und zeigen, dass c_{n} \ge K gilt.
Wie mache ich das dann, wenn
> K > inf $\{$ 1/a | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ - [mm]\epsilon[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nein.
> für epsilon wird inf $\{$ [mm]1/a_{k}[/mm] | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ - [mm]c_{n}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> eingesetzt
>
> K > inf $\{$ 1/a | k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ - inf $\{$ [mm]1/a_{k}[/mm] k [mm]\ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
n $\}$ +
> [mm]c_{n}[/mm]
>
> K > [mm]c_{n}.[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das wäre schlecht. Wir wollen nämlich genau das Gegenteil zeigen.
falsch ist?
Hier an der Stelle habe ich das falsche Relationszeichen gesetzt, das meiner Aussage widerspricht. Stimmt es, wenn ich statt > immer < schreibe?
Und muss ich als finalen Schritt nicht nur noch den Grenzwersatz für mein Supremum \limes_{n\rightarrow\infty}sup a_{k} und mein Infimum \bruch{1}{sup a_{k} anwenden, oder etwa nicht? Das Produkt dieser beiden Faktoren ist dann null.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 So 18.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> Nun gilt es, genau das zu zeigen.
>
> Sei also [mm]k\ge n[/mm]. Zu zeigen ist [mm]c_n\le\bruch1{a_k}[/mm].
>
> Gleichbedeutend damit ist wegen [mm]c_n>0[/mm] (wegen
> [mm]\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}>0[/mm], wie wir bereits gezeigt haben)
> und [mm]a_k\ge c>0[/mm]: [mm]a_k\le \bruch{1}{c_n}[/mm] (*).
>
> Zeige also Aussage (*): Es gilt [mm]\bruch1{c_n}=\ldots\ge a_k[/mm].
> Verwende hier die Definition von [mm]c_n[/mm] und überlege, warum
> das [mm]\ge[/mm] stimmt.
>
> [mm]c_{n}[/mm] in [mm]\bruch{1}{c_{n}}[/mm] eingesetzt ergibt sup [mm]{a_{k}|k \ge n}.[/mm]
> Dass das supremum [mm]\ge a_{k}[/mm] gelten muss, ist dann logisch,
> da das supremum kleinste obere Schranke ist.
Schön! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> > Um zu beweisen, dass [mm]c_{n}[/mm] die größte untere Schranke
> > ist, nehmen wir eine beliebige weitere untere Schranke K
> > und zeigen, dass [mm]c_{n} \ge[/mm] K gilt.
>
> Wie mache ich das dann,
Falls [mm] $K\le [/mm] 0$ gilt, sind wir wegen [mm] $c_n>0\ge [/mm] K$ fertig. Sei nun $K>0$.
Dann zeige, dass [mm] $\bruch1K$ [/mm] eine obere Schranke von [mm] $\{a_k\;|\;k\ge n\}$ [/mm] ist.
Somit [mm] $\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}\le \bruch1K$.
[/mm]
Also erhalten wir wegen [mm] $\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}$>0 [/mm] und $K>0$ die Ungleichung [mm] $K\le\bruch1{\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}}=c_n$.
[/mm]
Was zu zeigen war.
> Hier an der Stelle habe ich das falsche Relationszeichen
> gesetzt, das meiner Aussage widerspricht. Stimmt es, wenn
> ich statt > immer < schreibe?
Nein, die Aussagen bleiben im Allgemeinen falsch. Wenn du [mm] $\le$ [/mm] stattdessen schreiben würdest, wären zwar die Aussagen richtig, aber unbegründet.
> Und muss ich als finalen Schritt nicht nur noch den
> Grenzwersatz für mein Supremum
> [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}sup a_{k}$ [/mm] und mein Infimum
> [mm] $\bruch{1}{\sup a_{k}}$ [/mm] anwenden, oder etwa nicht?
Der passende Grenzwertsatz liefert dir
[mm] $\underbrace{\lim_{n\to\infty}\underbrace{(\sup\{a_k\;|\;k\ge n\}*\inf\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\})}_{=1}}_{=1}=\underbrace{(\lim_{n\to\infty}\sup\{a_k\;|\;k\ge n\})}_{=\lim\sup_{n\to\infty}a_n}*\underbrace{(\lim_{n\to\infty}\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge n\})}_{=\lim\inf_{n\to\infty}\bruch1{a_n}}$.
[/mm]
> Das Produkt
> dieser beiden Faktoren ist dann null.
Du meintest eins statt null, oder?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:28 So 18.11.2012 | | Autor: | zjay |
An dieser einen Stelle hänge ich:
>Dann zeige, dass [mm] $\bruch1K$ [/mm] eine obere Schranke von [mm] $\{a_k\;|\;k\ge n\}$ [/mm] ist.
Wir sind quasi wieder an einer ähnlichen Stelle wie vorhin, als [mm] a_{k} \le \bruch{1}{c_{n}} [/mm] gezeigt wurde:
[mm] \bruch{1}{K} [/mm] ist eine obere schranke von [mm] {a_{k} | k \ge n}, [/mm] d.h.
[mm] \bruch{1}{K} \ge a_{k}, [/mm] nur dass ich diesmal für K oder [mm] a_{k} [/mm] nichts einsetzen kann, oder?
Meine einzige Idee ist diese:
K := [mm] \bruch{1}{inf {\{a_k} | k \ge n }\}.
[/mm]
Da K > 0 gilt, ist auch 1/K > 0. Auch das Infimum ist größer null (davon kann man doch ausgehen, oder?
Wenn ich für K nun das definierte einsetze, erhalte ich [mm] \bruch{1}{inf {\{a_k} | k \ge n }\} \ge a_{k}
[/mm]
(warum zeigt er die Mengekklammern so komisch an? Die zweite Mengenklammer soll unter dem Bruchstrich stehen!).
Stimmt dies soweit?
Gruß,
zjay
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 So 18.11.2012 | | Autor: | zjay |
Ach und danke für das Lob wie auch für deine umfangreiche Hilfe.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:40 So 18.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
> >Dann zeige, dass [mm]\bruch1K[/mm] eine obere Schranke von
> [mm]\{a_k\;|\;k\ge n\}[/mm] ist.
>
> Wir sind quasi wieder an einer ähnlichen Stelle wie
> vorhin, als [mm]a_{k} \le \bruch{1}{c_{n}}[/mm] gezeigt wurde:
>
> [mm]\bruch{1}{K}[/mm] ist eine obere schranke von [mm]{a_{k} | k \ge n},[/mm]
> d.h.
>
> [mm]\bruch{1}{K} \ge a_{k},[/mm] nur dass ich diesmal für K oder
> [mm]a_{k}[/mm] nichts einsetzen kann, oder?
Zu zeigen ist in der Tat [mm] $\bruch1K\ge a_k$ [/mm] für alle [mm] $k\ge [/mm] n$.
Wegen [mm] $a_k>0$ [/mm] und $K>0$ ist das gleichbedeutend mit [mm] $\bruch1{a_k}\ge [/mm] K$.
Und K war untere Schranke welcher Menge? Gilt also tatsächlich [mm] $K\le\bruch1{a_k}$?
[/mm]
> Meine einzige Idee ist diese:
>
> K := [mm]\bruch{1}{inf {\{a_k} | k \ge n }\}.[/mm]
Nein, K ist schon die beliebig vorgegebene weitere untere Schranke von [mm] $\{\bruch1{a_k}\;|\;k\ge N\}$ [/mm] (mit K>0).
Wir wollen ja etwas über ALLE solchen unteren Schranken K zeigen, nicht nur über eine bestimmte. Daher kannst du K nicht selbst wählen.
> Da K > 0 gilt, ist auch 1/K > 0. Auch das Infimum ist
> größer null (davon kann man doch ausgehen, oder?
>
> Wenn ich für K nun das definierte einsetze, erhalte ich
> [mm]\bruch{1}{inf {\{a_k} | k \ge n }\} \ge a_{k}[/mm]
>
> (warum zeigt er die Mengekklammern so komisch an? Die
> zweite Mengenklammer soll unter dem Bruchstrich stehen!).
Weil du }\} eingegeben hast, was als } \} interpretiert wird. Richtig wäre \} } gewesen.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:40 Sa 17.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Abgesehen von dem einen Schritt, wo du [mm]$\lim b_n[/mm] = [mm]\limsup a_n \ge[/mm]
> c gesetzt hast, habe ich alles verstanden. Auf welchen der
> Grenzwertsätze beziehst du dich? Ich kenne nur vier.
>
Das ist zu wenig! Du kennst also den folgenden Satz nicht?
Ist [mm] $x_n \ge [/mm] y$ für alle [mm] $n\in \IN$ [/mm] und konvergiert die Folge [mm] $(x_n)$, [/mm] so ist auch [mm] $\lim x_n \ge y\,.$
[/mm]
Diesen Satz habe ich auf die Folge [mm] $(b_n)$ [/mm] mit dem Grenzwert $a$ angewendet.
Er gilt ebenso mit [mm] $\le$ [/mm] statt [mm] $\ge$.
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 So 18.11.2012 | | Autor: | zjay |
Schön, jetzt habe ich (endlich) Aufgabe 16a zu einem Abschluss geführt.
Dafür gibt es 5 Punkte und für den (vom Zeitaufwand her lächerlichen Beweis, dass 0.99999 ... = 1 ist gibts 3 Punkte .. Irgendwas stimmt da meiner Meinung nach nicht.
Aber jetzt zurück zum thema. Ich hätte jetzt noch eine bitte, ob jemand ein Beispiel zu aufgabe b) dafür posten kann, wie man zeigt, dass unser Häufungspunkt a der größte/kleinste ist, d.h. dass es keinen größeren Häufungspunkt b oder kleinere Häufungspunkt c gibt. Ich find in meinen Vorlesungsunterlagen leider nichts in der Richtung =/
Gruß und Dank,
zjay
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:46 So 18.11.2012 | | Autor: | Helbig |
> Aber jetzt zurück zum thema. Ich hätte jetzt noch eine
> bitte, ob jemand ein Beispiel zu aufgabe b) dafür posten
> kann, wie man zeigt, dass unser Häufungspunkt a der
> größte/kleinste ist, d.h. dass es keinen größeren
> Häufungspunkt b oder kleinere Häufungspunkt c gibt. Ich
> find in meinen Vorlesungsunterlagen leider nichts in der
> Richtung =/
Nanu!
Was bisher geschah:
Es ist [mm] $(a_n)$ [/mm] eine Folge, [mm] $b_n=\sup \{a_k\colon k\ge n\}$ [/mm] und [mm] $a=\lim b_n\,,$ [/mm] d. h. [mm] $a=\limsup_{n\to\infty} a_n\;.$ [/mm] Wir haben bereits gezeigt, daß $a$ ein Häufungswert der Folge ist, und wollen jetzt zeigen, daß $a$ der größte Häufungswert ist.
Sei hierzu $b>a$. Setze [mm] $\epsilon=\frac [/mm] {b-a} 2$. Wegen [mm] $b_n\to [/mm] a$ gibt es eine Zahl N mit [mm] $b_n< a+\epsilon$ [/mm] für jedes [mm] $n\ge N\,.$ [/mm] Da [mm] $a_n \le b_n$ [/mm] ist, folgt [mm] $a_n [/mm] < [mm] a+\epsilon$ [/mm] für jedes [mm] $n\ge [/mm] N$. Damit gibt es zu [mm] $\epsilon$ [/mm] und N kein $n$ mit [mm] $a_n [/mm] > [mm] b-\epsilon\,.$ [/mm] Also ist $b$ kein Häufungswert von [mm] $(a_n)\,.$
[/mm]
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Mo 19.11.2012 | | Autor: | zjay |
Ah, so funktioniert das. Vielen Dank.
mfg,
zjay
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