lim int.cos(x/n)*f(x)=int.f(x) < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 Do 07.05.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
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$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{cos\pmat{\bruch{x}{n}}*f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $ |
Bin hier nur Aufgaben am machen, weil bald die Modulabschlussprüfung ansteht. Diesmal ein Beweis, den ich so vorgefunden habe:
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{cos\pmat{\bruch{x}{n}}*f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] $
[mm] $\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{cos\pmat{\bruch{x}{n}}*f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = 0 $
[mm] $\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{\pmat{cos\pmat{\bruch{x}{n}}*f(x) - f(x)} dx} [/mm] = 0 $
[mm] $\gdw \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{a}^{b}{f(x)*\pmat{cos\pmat{\bruch{x}{n}}-1} dx} [/mm] = 0 $
Gilt insbesondere dann, wenn $ [mm] cos\pmat{\bruch{x}{n}}-1 [/mm] = 0 $
$ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} cos\pmat{\bruch{x}{n}}-1 [/mm] = cos(0)-1 = 1-1 = 0 $
Darf man einfach die Annahme cos(x/n) - 1 = 0 aus dem Integral heraus nehmen und den Limes vorne dran hängen?
Der Beweis scheint mir ein bisschen komisch zu sein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Do 07.05.2009 | | Autor: | fred97 |
Zeige, dass die Funktionenfolge $(cos(x/n))$ auf [a,b] gleichmäßig gegen 1 konvergiert.
Dann konvergiert $(cos(x/n)f(x))$ auf [a,b] gleichmäßig gegen f.
Damit darfst Du Integral und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] vertauschen
Noch einfacher gehts mit Konvergenzsätzen der Lebesgueschen Integrationstheorie (falls Ihr das hattet)
FRED
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