lim inf lim sup von Ergeinisse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | 1. Für eine Folge von Teilmengen [mm] $A_{n}, [/mm] n [mm] \in \IN$, [/mm] eines Grundraums [mm] $\Omega$ [/mm] definiert man
$lim [mm] inf_{n \to \infty} A_{n} [/mm] := [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k}$ [/mm] und $ lim [mm] sup_{n \to \infty} A_{n} [/mm] := [mm] \bigcap_{n=1}^{\infty} \bigcup_{k=n}^{\infty} A_{k}$
[/mm]
Zeigen Sie
a) $lim [mm] inf_{n \to \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \{\omega \in \Omega | \exists n_{0} \in \IN \forall n \ge n_{0} : \omega \in A_{n}\}.$
[/mm]
[mm] $liminf_{n \to \infty} A_{n}$ [/mm] beschreibt also das Ereignis, dass fast alle (oder schließlich alle), d.h. alle bis auf endlich viele der Ereignisse [mm] $A_{n}$$ [/mm] eintreten.
b) [mm] $limsup_{n \to \infty} A_{n} [/mm] = [mm] \{\omega \in \Omega | \omega \in A_{n}$ für unendlich viele $n \in \IN\}$
[/mm]
[mm] $limsup_{n \to \infty} A_{n}$ [/mm] beschreibt also das Ergebnis, dass unendlich viele der Ereignisse [mm] $A_{n}$ [/mm] eintreten.
c) [mm] $liminf_{n \to \infty} A_{n} \subset limsup_{n \to \infty} A_{n}$
[/mm]
d) [mm] $liminf_{n \to \infty} A^{c}_{n} [/mm] = [mm] (limsup_{n \to \infty} A_{n})^{c}$
[/mm]
e) [mm] $1_{liminf_{n \to \infty} A_{n}} [/mm] = [mm] liminf_{n \to \infty} 1_{A_{n}}$
[/mm]
f) [mm] $1_{limsup_{n \to \infty} A_{n}} limsup_{n \to \infty} 1_{A_{n}}$ [/mm] |
1 mit Index beschreibt hier die Indikatorfunktion.
Ich verstehe schon die Definitionen von limsup und liminf nicht. Das sind mir einfach zu viele Hieroglyphen.
Bitte um Ansätze/Erklärungen, Lösungsvorschläge.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Di 25.10.2011 | | Autor: | fred97 |
Zu
$ lim [mm] inf_{n \to \infty} A_{n} [/mm] := [mm] \bigcup_{n=1}^{\infty} \bigcap_{k=n}^{\infty} A_{k} [/mm] $
Halte zunächst n [mm] \in \IN [/mm] fest und setze
[mm] $B_n:= A_n \cap A_{n+1} \cap A_{n+1} \cap [/mm] ......$.
Ist soweit alles klar ?
Wenn ja, so vereinige all die so gewonnenen Mengen [mm] B_n: \bigcup_{n=1}^{ \infty}B_n.
[/mm]
Dann ist lim inf [mm] A_n [/mm] = [mm] \bigcup_{n=1}^{ \infty}B_n.
[/mm]
FRED
|
|
|
|
