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Forum "Folgen und Reihen" - lim, Konvergenz, Grenzwert
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lim, Konvergenz, Grenzwert: Denkanstoß
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:24 Fr 13.04.2012
Autor: Grischa

Aufgabe
Bestimmen Sie den folgenden Grenzwert:

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1-\bruch{1}{n})^n[/mm]


Durch die eulersche Zahl e:= [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (1+\bruch{1}{n})^n[/mm] kommt man ja schon nah dran. Erweitern mit +1-1 führt aber auch nicht recht zu einem Ergebnis.

Jemand eine Idee wie man das - da wegbekommt? ;)

Viele Grüße

        
Bezug
lim, Konvergenz, Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:40 Fr 13.04.2012
Autor: Leopold_Gast

[mm]\left( 1 - \frac{1}{n} \right)^n = \left( \frac{n-1}{n} \right)^n = \frac{1}{\left( \frac{n}{n-1} \right)^n}[/mm]

Jetzt [mm]n = k+1[/mm] substituieren, Potenzgesetze und Grenzwertregeln anwenden.

Bezug
                
Bezug
lim, Konvergenz, Grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:11 Fr 13.04.2012
Autor: Grischa


Danke für die schnelle Antwort, jedoch leuchtet mir nicht ein warum ich n mit k+1 austauschen soll?!



[mm]\bruch{1}{(\bruch{k+1}{k})^k (\bruch{k+1}{k})}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e (1 + \bruch{1}{k})}[/mm] ... ok ich bin verwirrt.


Bezug
                        
Bezug
lim, Konvergenz, Grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:18 Fr 13.04.2012
Autor: schachuzipus

Hallo Grischa,


>
> Danke für die schnelle Antwort, jedoch leuchtet mir nicht
> ein warum ich n mit k+1 austauschen soll?!
>  
>
>
> [mm]\bruch{1}{(\bruch{k+1}{k})^k (\bruch{k+1}{k})}[/mm]  [ok]=
> [mm]\bruch{1}{e (1 + \bruch{1}{k})}[/mm]

Das "=" stimmt nicht.

Mit der obigen Substitution geht mit [mm]n\to\infty[/mm] auch [mm]k\to\infty[/mm]

Und [mm]\left(\frac{k+1}{k}\right)^k\longrightarrow e[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm] hast du ja richtig erkannt.

Bleibt [mm]\left(1+1/k\right)[/mm]

Was treibt das für [mm]k\to\infty[/mm]?

Das geht gegen [mm](1+0)=1[/mm]

Insgesamt also [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-1/n\right)^n=...=\lim\limits_{k\to\infty}\frac{1}{\left(\frac{k+1}{k}\right)^k\cdot{}\left(1+1/k\right)}=\frac{1}{e\cdot{}1}=\frac{1}{e}[/mm]

Allg. gilt [mm]\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\longrightarrow e^x[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm]

Bei dir ist [mm]x=-1[/mm]

> ... ok ich bin verwirrt.
>  

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
Bezug
lim, Konvergenz, Grenzwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:24 Fr 13.04.2012
Autor: Grischa


Ah perfekt, danke für die Erklärung mit n und k, das hatte gefehlt. Macht jetzt aber total Sinn.

Das [mm]\bruch{1}{k}[/mm] bei k [mm]k \to \infty[/mm] zu 0 wird, hätte ich auch selbst drauf kommen können.

Danke!

Bezug
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