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hoi leude ...
ich hab da ne laurentreihe zu entwickeln
von (z*(z-1))^(1/2) sollen die ersten von null verschiedenen werte berechnet werden. wobei betrag(z)>1.
wobei der zweig der wurzelfunkion f(2)=wurzel(2) zu verwenden ist.
nun zu meinen fragen ...
a)um welchen punkt soll ich denn nun entwickeln???
b)wie könnte ein anderer zweig der wurzelfunktion aussehn??
c)ich habe vor (z*(z-1))^(1/2) mit einem bruch zu erweitern, bei dem ich dann im nenner auf eine polstelle komme, ist das richtig so? dann brauch ich aber noch den punkt um den es zu entwickeln ist, oder kann ich da irgendeinen nehmen???
danke schöööön,
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:51 So 28.02.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> ich hab da ne laurentreihe zu entwickeln
> von (z*(z-1))^(1/2) sollen die ersten von null
> verschiedenen werte berechnet werden. wobei betrag(z)>1.
> wobei der zweig der wurzelfunkion f(2)=wurzel(2) zu
> verwenden ist.
>
> nun zu meinen fragen ...
> a)um welchen punkt soll ich denn nun entwickeln???
Ich vermute mal $z = 0$, ansonsten bekommst du den Konvergenzbereich [mm] $\{ |z| > 1 \}$ [/mm] nicht hin.
> b)wie könnte ein anderer zweig der wurzelfunktion
> aussehn??
Na, $f(2) = [mm] -\sqrt{2}$. [/mm]
Es gilt doch immer [mm] $f(2)^2 [/mm] = 2 * (2 - 1) = 2$, womit $f(2)$ irgendeine Quadratwurzel von 2 sein soll. Und davon gibt es genau zwei, naemlich [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] und [mm] $-\sqrt{2}$.
[/mm]
> c)ich habe vor (z*(z-1))^(1/2) mit einem bruch zu
> erweitern, bei dem ich dann im nenner auf eine polstelle
> komme, ist das richtig so?
Warum schreibst du das hier nicht einfach hin? Dann kann man dir das auch einfach sagen, ohne das erstmal selber rechnen zu muessen.
Du solltest dir vielleicht mal ueberlegen, warum die Funktion ueberhaupt Sinn macht. Dazu ueberlegst du dir, dass das Bild von $h(z) := z (z - 1)$ fuer $|z| > 1$ eine Verbindung von $0$ und [mm] $\infty$ [/mm] vermeidet; das ist Voraussetzung, dass du einen holomorphen (bzw. ueberhaupt erstmal stetigen) Zweig der Wurzel auf dem Bild von $h$ waehlen kannst, um $f$ durch [mm] $f^2 [/mm] = h$ zu konstruieren.
LG Felix
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hellooouuu
> Hallo!
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> > ich hab da ne laurentreihe zu entwickeln
> > von (z*(z-1))^(1/2) sollen die ersten von null
> > verschiedenen werte berechnet werden. wobei betrag(z)>1.
> > wobei der zweig der wurzelfunkion f(2)=wurzel(2) zu
> > verwenden ist.
> >
> > nun zu meinen fragen ...
> > a)um welchen punkt soll ich denn nun entwickeln???
>
> Ich vermute mal [mm]z = 0[/mm], ansonsten bekommst du den
> Konvergenzbereich [mm]\{ |z| > 1 \}[/mm] nicht hin.
>
> > b)wie könnte ein anderer zweig der wurzelfunktion
> > aussehn??
>
> Na, [mm]f(2) = -\sqrt{2}[/mm].
>
> Es gilt doch immer [mm]f(2)^2 = 2 * (2 - 1) = 2[/mm], womit [mm]f(2)[/mm]
> irgendeine Quadratwurzel von 2 sein soll. Und davon gibt es
> genau zwei, naemlich [mm]\sqrt{2}[/mm] und [mm]-\sqrt{2}[/mm].
>
> > c)ich habe vor (z*(z-1))^(1/2) mit einem bruch zu
> > erweitern, bei dem ich dann im nenner auf eine polstelle
> > komme, ist das richtig so?
>
> Warum schreibst du das hier nicht einfach hin? Dann kann
> man dir das auch einfach sagen, ohne das erstmal selber
> rechnen zu muessen.
>
> Du solltest dir vielleicht mal ueberlegen, warum die
> Funktion ueberhaupt Sinn macht. Dazu ueberlegst du dir,
> dass das Bild von [mm]h(z) := z (z - 1)[/mm] fuer [mm]|z| > 1[/mm] eine
> Verbindung von [mm]0[/mm] und [mm]\infty[/mm] vermeidet; das ist
wie meinst du verbindung zw 0 und [mm]\infty[/mm]?
> Voraussetzung, dass du einen holomorphen (bzw. ueberhaupt
> erstmal stetigen) Zweig der Wurzel auf dem Bild von [mm]h[/mm]
> waehlen kannst, um [mm]f[/mm] durch [mm]f^2 = h[/mm] zu konstruieren.
>
> LG Felix
>
also ich bin da mal weitergekommen bei dem beispiel und zwar so ...
ich habe aus (z*(z-1))^(1/2) [mm] z^2 [/mm] rausgehoben ... und bekomme dann [mm] z^2*(1-1/z)^{1/2} [/mm] ...
nun kann ich doch (1-1/z)^(1/2) durch binom formel als reihe darstellen, aber ich hab gesehen das gilt nur für batrag(z)<1 ... aber laut angabe soll mein batrag(z) größer eins sein ...
das verwirrt mich grad total ... für jede erklärung wäre ich sehr dankbar.
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Mi 03.03.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:33 Mo 01.03.2010 | | Autor: | gfm |
Ich weiß nicht ob es hilft (bin selber dabei mir Funktionentheorie beizubringen):
Wenn man auf einem Weg um 0 und 1 rumläuft, passiert nichts. Wenn ein Weg nur einen der beiden Punkte einschließt, "wird die Funktion mehrdeutig".
D.h. der "Schnitt", um die Funktion regulär zu machen, geht von 0 bis 1.
LG
gfm
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hoi leude ...
ich hab da ne laurentreihe zu entwickeln
von (z*(z-1))^(1/2) sollen die ersten von null
verschiedenen werte berechnet werden. wobei betrag(z)>1.
wobei der zweig der wurzelfunkion f(2)=wurzel(2) zu
verwenden ist.
also ich bin da mal weitergekommen bei dem beispiel und zwar so ...
ich habe aus (z*(z-1))^(1/2) $ [mm] z^2 [/mm] $ rausgehoben ... und bekomme dann $ [mm] z^2\cdot{}(1-1/z)^{1/2} [/mm] $ ...
nun kann ich doch (1-1/z)^(1/2) durch binom formel als reihe darstellen, aber ich hab gesehen das gilt nur für batrag(z)<1 ... aber laut angabe soll mein batrag(z) größer eins sein ...
das verwirrt mich grad total ... für jede erklärung wäre ich sehr dankbar.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:58 Do 04.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist [mm] $(1-z)^{1/2}= \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{1/2 \\ k}(-1)^kz^k$ [/mm] für $|z|<1$
Also:
[mm] $(1-1/z)^{1/2}= \summe_{k=0}^{\infty}\vektor{1/2 \\ k}(-1)^kz^{-k}$ [/mm] für $|z|>1$
FRED
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