lagrange funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | produktionsfunktion x(r1, [mm] r2)=4*r1*\wurzel{2*r2} [/mm] =32
nebenbedingung: K(r1, r2)=16*r1 + 2*r2)
Kombination der Faktoren r1 und r2 fuehrt zu den geringsten Kosten.
(Die Bestimmung der Stationaerensten Stellen genuegt. Benutzen Sie die Methode von Lagrange) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
ich wuerde gerne wissen wie man an diese aufgabe heran geht (ausfuehrlich), da ich da einfach nicht durchblicke.
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> produktionsfunktion x(r1, [mm]r2)=4*r1*\wurzel{2*r2}[/mm] =32
> nebenbedingung: K(r1, r2)=16*r1 + 2*r2)
> Kombination der Faktoren r1 und r2 fuehrt zu den
> geringsten Kosten.
>
> (Die Bestimmung der Stationaerensten Stellen genuegt.
> Benutzen Sie die Methode von Lagrange)
>
> ich wuerde gerne wissen wie man an diese aufgabe heran geht
> (ausfuehrlich), da ich da einfach nicht durchblicke.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Ich habe den Eindruck, daß Du die Aufgabe hier nicht so präsentierst, wie sie gemeint ist - vielleicht hast Du sie Dir aus Deinen Notizen zusammengebastelt?
Ich schreibe die Aufgabe zunächst so auf, wie ich denke, daß sie gedacht ist, wenn ich völlig falsch liege, melde Dich.
Aufgabe:
Aus zwei Produktionsfaktoren soll ein Gut hergestellt werden, es seien [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] die eingesetzen Produktionsfaktormengen.
Der Herstellungsprozeß habe die Produktionsfunktion [mm] x(r_1, r_2)=4r_1*\wurzel{2r_2}, [/mm]
die Kostenfunktion sei [mm] K(r_1, r_2)=16r_1+2r_2.
[/mm]
Für welche Produktionsfaktormengen werden die Kosten minimal, wenn man 32 Mengeneinheiten des Gutes herstellen möchte?
(Kann es sein, daß die Aufgabe so ähnlich hieß?)
Einschub:
Die Kostenfunktion [mm] K(r_1, r_2) [/mm] liefert die Kosten, wenn man die Menge [mm] r_1 [/mm] des Produktionsfaktors 1 einsetzt und die Menge [mm] r_2 [/mm] des Produktionsfaktors 2.
Die Produktionsfunktion liefert den Output des herzustellenden Gutes bei Einsatz der Menge [mm] r_1 [/mm] des Produktionsfaktors 1 und der Menge [mm] r_2 [/mm] des Produktionsfaktors 2.
Ziel der Aufgabe:
Es soll nun herausgefunden werden, wie man die Produktionsfaktormengen [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2 [/mm] optimal wählt, wenn man 32 Mengeneinheiten des Gutes ( [mm] x(r_1, r_2)=32) [/mm] mit möglichst geringen Kosten herstellen möchte.
Mathematische Formulierung des Zieles:
Die Funktion [mm] K(r_1, r_2)=16r_1+2r_2 [/mm] ist zu minimieren unter der
Nebenbedingung [mm] x(r_1, r_2)=4r_1*\wurzel{2r_2}=32.
[/mm]
Lösung:
Solche Extremwertaufgaben unter Nebenbedingung löst man mit dem Lagrageansatz.
Man stellt eine neue Hilfs-Funktion L, die Lagrange-Funktion, auf.
Sie ist eine Funktion, welche v. drei Variablen abhängt, von [mm] r_1, r_2 [/mm] und v. einer "Hilfs"variaben, dem Lagrangefaktor [mm] \lambda.
[/mm]
"Lagrangefunktion= (zu optimierende Funktion) - Lagrangefaktor*Nebenbedingung":
[mm] L(r_1, r_2, \lambda) :=K(r_1, r_2) [/mm] - [mm] \lambda* [/mm] (32 - [mm] x(r_1, r_2)) [/mm] = [mm] 16r_1+2r_2 [/mm] - [mm] \lambda [/mm] (32 - [mm] 4r_1*\wurzel{2r_2})
[/mm]
Mit dem Aufstellen dieser Funktion ist eine wichtige Haltestelle auf dem Weg zum Auffinden die stationären Punkte erreicht.
Im weiteren Verlauf ist der Gradient der Funktion L zu bestimmen, also die partiellen Ableitungen nach [mm] r_1, r_2 [/mm] und [mm] \lambda.
[/mm]
Der Gradient ist dann =0 zu setzen, was drei Gleichungen liefert, welche zu lösen sind.
Diese Lösungen liefern Dir Deine stationären Punkte, Kombinationen von [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2, [/mm] an welchen die Kosten optimal sein könnten.
Ich schlage vor, daß Du hier nun selbst tätig wirst.
1. Gradienten v. L bestimmmen.
2. Gradienten =0 setzen
3. Das entstehende Gleichungssystem (aus drei Gleichungen) lösen.
Du kannst gerne Zwischenergebnisse und Zwischenfragen hier einstellen.
Möglicherweise ist es hilfreich, wenn Du Dir zuvor unten auf ![[]](/images/popup.gif) dieser Seite das vorgerechnete Beispiel anschaust, bzw. es mit dem Bleistift nachvollziehst.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Hallo Angela,
erst einmal vielen Dank fuer deine Muehe. Dieses Thema gibt mir etwas zu schaffen. Hoffe das ich es auf die Reihe bekomme, da ich ein wenig "Mahtelahm" bin.
die exakte aufgabenstellung lautet: gegeben sei die Produktionsfunktion [mm] x(r_1,r_2)=4*r_1*\Wurzel{2*r2}. [/mm] Das Produktionsniveau betrage 32 ME. Die Faktorpreise betragen 16 GE/ME fuer Faktor 1 und 2 GE/ME fuer Faktor 2. Welche Kombination der Faktoren r1 und r2 fuehrt zu den geringsten Kosten?
Wenn ich also jetzt nach deinem Ansatz weiter rechne, sehe das wie folgt aus:
[mm] L(r_1,r_2,\lambda)=16*r_1+2*r_2-\lambda*(4*r_1*\wurzel{2*r_2})
[/mm]
diese abgeleitet:
[mm] L'_{r_1}=16-32-4\lambda
[/mm]
[mm] L'_{r_2}=2-32-\wurzel{2}\lambda
[/mm]
[mm] L'_{\lambda}=32+4*r_1*-\wurzel{2*r_2}
[/mm]
wenn das soweit in Ordnung ist, werden dann die Ableitungen null gesetzt.
[mm] L'_{r_1}=16-32-4\lambda=0
[/mm]
[mm] 16-32=4\lambda
[/mm]
[mm] -16=4\lambda
[/mm]
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ist das so richtig? wenn ja, wie sieht das mit der naechsten aus, da dort die Wurzel vorkommt?
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Hallo,
da habe ich ja die Aufgabe perfekt erraten.
Stell in Zukunft Deine Aufgaben mit der exakten Aufgabenstellung ein, beim Nacherzählen kommt manches nicht so eindeutig rüber, gerade wenn jemand nicht den großen Überblick hat.
Eine andere Sache noch: mach Dich mit dem Formeleditor unterhalb des Eingabefensters vertraut. Ich habe, weil Du ganz neu hier bist, Dein Post so nachgearbeitet, daß man es lesen kann. Es erhöht die Antwortwahrscheinlichkeit, wenn da steht [mm] r_1 [/mm] statt r1, [mm] \lambda [/mm] statt /lambda und [mm] \wurzel{2} [/mm] statt /Wurzel2.
> Wenn ich also jetzt nach deinem Ansatz weiter rechne, sehe
> das wie folgt aus:
>
> [mm]L(r_1,r_2,\lambda)=16*r_1+2*r_2-\lambda*(4*r_1*\wurzel{2*r_2})[/mm]
Es scheint mir nur ein Tippfehler zu sein: es heißt richtig
[mm] L(r_1,r_2,\lambda)=16*r_1+2*r_2-\lambda*(32 [/mm] - [mm] 4*r_1*\wurzel{2*r_2})
[/mm]
Ich hoffe, daß Du nach einer Variablen richtig ableiten kannst.
Wenn man das kann, sind die partiellen Ableitungen nicht schwer: die Variablen, nach denen man gerade nicht ableitet, behandelt man als konstanten, so, als stünde dort irgendeine Zahl. (Als ich es noch nicht gut konnte, habe ich insgeheim(!) für diese Variablen z.B. 5 und 7 eingesetzt.)
>
> diese abgeleitet:
>
> [mm]L'_{r_1}=16-32-4\lambda[/mm]
> [mm]L'_{r_2}=2-32-\wurzel{2}\lambda[/mm]
> [mm]L'_{\lambda}=32+4*r_1*-\wurzel{2*r_2}[/mm]
Es ist
[mm] L'_{r_1}=16 [/mm] - [mm] 4\lambda\wurzel{2*r_2}
[/mm]
[mm] L'_{r_2}=
[/mm]
[mm] L'_{\lambda}=
[/mm]
Wenn Du die Ableitungen dann richtig hast, mußt Du die drei Gleichungen =0 setzen und auflösen.
Achtung: bei [mm] L'_{r_2} [/mm] ist u.a. [mm] \wurzel{2*r_2} [/mm] abzuleiten. Da brauchst Du die Kettenregel.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Hey Angela,
also:
[mm] L(r_{1} , r_{2} , \lambda ) = 16 * r_{1} + 2 r_{2} - \lambda (32 - 4 * r_{1} * \wurzel {2r_{2}}) [/mm]
[mm] L'r_{1}=16-4\lambda*\wurzel{2r_{2}}
[/mm]
[mm] =16*\wurzel{2r_{2}}=4\lambda
[/mm]
[mm] =4*\wurzel{2r_{2}} =\lambda
[/mm]
[mm] L'r_{2}=2-\lambda4*\bruch{1}{2}\wurzel{2r_{2}}=0
[/mm]
[mm] =2-2\lambda*\wurzel{2r_{2}}
[/mm]
[mm] =2=2\lambda*\wurzel{2r_{2}} [/mm] [/mm]
das sieht fuer mich etwas komisch aus. ich komme bei diesem schritt einfach nicht voran.die wurzel bereitet mir da, das problem, obwohl sie gar kein problem ist. Muss ich die so stehen lassen, die ganze zeit ueber oder ausrechnen. [mm] \wurzel{2r_{2}} [/mm] = [mm] 1,414236r_{2}
[/mm]
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wie sind die wege und die ergebnisse der drei ableitungen, die null zu setzen sind?
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> [mm]L(r_{1} , r_{2} , \lambda ) = 16 * r_{1} + 2 r_{2} - \lambda (32 - 4 * r_{1} * \wurzel {2r_{2}})[/mm]
Hallo,
mach das mit den Ableitungen und dem =0-Setzen lieber nicht in einem Atemzug. Es wird sonst so leicht unübersichtlich.
[mm] L_{r_{1}} [/mm] hast Du ja.
Für [mm] L_{r_{2}} [/mm] kannst Du Dir die Funktion [mm] L(r_{1} [/mm] , [mm] r_{2} [/mm] , [mm] \lambda [/mm] ) etwas "anwenderfreundlicher" aufschreiben:
[mm] L(r_{1} [/mm] , [mm] r_{2} [/mm] , [mm] \lambda [/mm] ) = 16 * [mm] r_{1} [/mm] + 2 [mm] r_{2} [/mm] - [mm] 32*\lambda [/mm] + 4 [mm] \lambda [/mm] * [mm] r_{1} [/mm] * [mm] (2r_{2})^{\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Beim Ableiten der Wurzel mußt Du nun zunächst mit der Potenzregel ableiten (äußere Ableitung), dann aber noch mit der inneren Ableitung, der Ableitung von [mm] 2r_2 [/mm] multiplizieren.
Insgesamt ergibt sich:
[mm] L_{r_{2}}= [/mm] 2+ 4 [mm] \lambda [/mm] * [mm] r_{1}*[\bruch{1}{2}*(2r_{2})^{-\bruch{1}{2}}*2] =2+4\lambda(2r_{2})^{-\bruch{1}{2}} =2+\bruch{4\lambda}{\wurzel{2r_2}}
[/mm]
[mm] L_{\lambda} [/mm] ist sehr einfach:
[mm] L_{\lambda}=-32 [/mm] + 4 * [mm] r_{1} [/mm] * [mm] \wurzel{2r_{2}}.
[/mm]
Verstehst Du die Ableitungen richtig? Es wäre schon wichtig, daß Du das kannst.
In nächsten Schritt stellt man das zu lösende GS auf:
0= 16 - [mm] 4\lambda\cdot{}\wurzel{2r_{2}}
[/mm]
0= 2 + [mm] 4\lambda(2r_{2})^{-\bruch{1}{2}}
[/mm]
0= -32 + [mm] 4r_{1} \wurzel{2r_{2}}
[/mm]
Da das [mm] \lambda [/mm] nur eine Hilfsvariable ist, ist es meist vorteilhaft, wenn man sie als erstes eliminiert.
Du kannst ganz systematisch die erste Gleichung nach [mm] \lambda [/mm] auflösen, das Ergebnis in die zweite und dritte Gleichung einsetzen.
Du hast dann zwei Gleichungen mit [mm] r_1 [/mm] und [mm] r_2, [/mm] welche Du nun auflöst.
Das Ergebnis (bzw. ggf. die Ergebnisse) liefern Dir die gesuchten kritischen Punkte.
Gruß v. Angela
P.S.: Rechne lieber mit [mm] \wurzel{2} [/mm] als mit 1,4142. Es ist bequemer und genauer.
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