la, wenn 1. Komponente 0 < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Kocram |
| Aufgabe | | Beweisen Sie, dass n Vektoren [mm] v_{1},...,v_{n} \in \IR³ [/mm] linear abhängig sind, wenn deren erste Komponente alle = 0 sind. |
Hi,
Durch lineares kombinieren von [mm] v_{1},...,v_{n} [/mm] kommt man ja auf folgende Gleichung:
[mm] k_{i}v_{i} [/mm] = [mm] (-k_{1}v_{1})+...+(-k_{i-1}v_{i-1})+(-k_{i+1}v_{i+1})+...+(-k_{n}v_{n})
[/mm]
Wenn die Vektoren nun linear abhängig sind, dann wäre [mm] k_{i}\not=0 [/mm] und somit folgt:
[mm] v_{i}=(-(k_{1}/k_{i})v_{1})+...+(-(k_{i-1}/k_{i})v_{i-1})+(-(k_{i+1}/k_{i})v_{i+1})+...+(-(k_{n}/k_{i})v_{n})
[/mm]
Nun ist die 1. Komponente ja jeweils 0, aber wie ich das nun in die Gleichung einbringen kann leuchtet mir nicht so wirklich ein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:38 Mi 29.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Was weisst du ueber homogene Gleichungsysteme:
wann sind die loesbar?
anderer Weg. du kannst einen Unterraum der dimension n-1 aus den Vektoren aufspannen.
Wenn sie alle lin unabh. waeren , waeren sie ne Basis von [mm] \IR^n
[/mm]
kannst du dann (1,0,0,...) aus ihnen kombinieren?
in der Aufgabenstellung muss es [mm] \IR^n [/mm] nicht [mm] \IR^3 [/mm] heissen.
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:55 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Kocram |
> Hallo
> Was weisst du ueber homogene Gleichungsysteme:
> wann sind die loesbar?
Sind sie nicht immer lösbar, weil sie eben homogen sind?
> anderer Weg. du kannst einen Unterraum der dimension n-1
> aus den Vektoren aufspannen.
> Wenn sie alle lin unabh. waeren , waeren sie ne Basis von
> [mm]\IR^n[/mm]
> kannst du dann (1,0,0,...) aus ihnen kombinieren?
Ich denke nicht, aber begründen kann ich es leider nicht.
> in der Aufgabenstellung muss es [mm]\IR^n[/mm] nicht [mm]\IR^3[/mm]
> heissen.
Du hast Recht, sorry.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 Mi 29.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein homogenes System hat natuerlich immer die "triviale" Loesung alle koeffizienten 0. die Frage ist, wann es eine nichttriviale hat!
wenn du die Gl. aufstellst um (1,0000) aus den Vektoren (0,...) zu kombinieren, welche Koeffizienten kannst du denn dan waehlen, um in der ersten Komponente ne 1 zu kriegen?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:58 Mi 29.10.2008 | | Autor: | Kocram |
Erstmal vielen Dank,
ich sollte wohl noch erwähnen, dass es reicht die Aufgabe in Satzform und nicht unbedingt in rechnerischer Form zu lösen.
> Hallo
> ein homogenes System hat natuerlich immer die "triviale"
> Loesung alle koeffizienten 0. die Frage ist, wann es eine
> nichttriviale hat!
Wenn [mm] k_{1}=...=k_{i-1}=k_{i+1}=...=k_{n}=0, [/mm] aber [mm] k_{i}=n [/mm] wäre es ebenfalls lösbar, aber kann ich das einfach so schreiben?
> wenn du die Gl. aufstellst um (1,0000) aus den Vektoren
> (0,...) zu kombinieren, welche Koeffizienten kannst du denn
> dan waehlen, um in der ersten Komponente ne 1 zu kriegen?
Das ist nicht möglich, da 0*x immer 0 wäre und man nie auf 1 kommen würde.
(Brauche ich diesen Teil überhaupt, denn mit dem oberen Teil habe ich doch eigentlich schon die lineare Abhängikeit bewiesen oder nicht?)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:20 Do 30.10.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
den Satz mit den vielen k's kapier ich leider ueberhaupt nicht.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:50 Do 30.10.2008 | | Autor: | Kocram |
Es handelt sich doch um folgendes Gleichungssystem:
[mm] (0,x_{2},...,x_{m})= [/mm] - [mm] \bruch{k1}{ki} [/mm] * [mm] (0,x_{2},...,x_{m}) [/mm] + ... + (- [mm] \bruch{ki-1}{ki}) [/mm] * [mm] (0,x_{2},...,x_{m}) [/mm] + (- [mm] \bruch{ki+1}{ki}) [/mm] * [mm] (0,x_{2},...,x_{m}) [/mm] + ... + (- [mm] \bruch{kn}{ki}) [/mm] * [mm] (0,x_{2},...,x_{m})
[/mm]
wobei die verschiedenen [mm] x_{2},...,x_{m} [/mm] zu unterscheiden sind.
Wenn nun - [mm] \bruch{k1}{ki} [/mm] = ... = - [mm] \bruch{ki-1}{ki} [/mm] = - [mm] \bruch{ki+1}{ki} [/mm] = ... = - [mm] \bruch{kn}{ki} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] wäre, dann wäre das System lösbar. Somit wären die Vektoren linear abhängig.
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