l^1 & supNorm. Ein Banachraum? < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:19 Mi 07.02.2007 | | Autor: | dena |
| Aufgabe | Für x = [mm] (s_{n}) \in l^{1} [/mm] setze
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \sup_{n}|\summe_{j=1}^{n}s_{j}|
[/mm]
Zeige, dass [mm] (l^{1}, \parallel [/mm] * [mm] \parallel) [/mm] ein normierter Raum ist. Ist es ein Banachraum? |
Hallo, guten Abend!
Jetzt beschäftige ich mich schon eine ganze Zeit mit dieser Aufgabe, doch ich weiß nicht so recht, ob das stimmt, was ich zeige..
Dass [mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] eine Norm ist, müsste mir gelungen sein zu zeigen und somit folgt doch [mm] (l^{1}, \parallel [/mm] * [mm] \parallel) [/mm] ist ein normierter Raum!?
Zur Frage, ob Banachraum?
Meine Antwort: Nein, weil nicht vollständig bzw.
[mm] l^{1} [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] * [mm] \parallel [/mm] nicht abgeschlossen:
[mm] l^{1} [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}|s_{j}|
[/mm]
n [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] x_{n}=(1, \bruch{1}{2}, \bruch{1}{3}, [/mm] ..., [mm] \bruch{1}{n}, [/mm] 0, 0, ...) [mm] \in l^{1}
[/mm]
x = (1, [mm] \bruch{1}{2}, \bruch{1}{3}, [/mm] ..., [mm] \bruch{1}{n}, \bruch{1}{n+1}, [/mm] ...) --> harmonische Reihe: [mm] \summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1}{n} [/mm] = [mm] \infty \not\in l^{1}
[/mm]
Somit:
[mm] \parallel x_{n} [/mm] - x [mm] \parallel [/mm] = [mm] \bruch{1}{n+1} \to [/mm] 0 für n [mm] \to \infty, [/mm] aber x [mm] \not\in l^{1}
[/mm]
Deshalb
[mm] (l^{1},\parallel *\parallel) [/mm] kein Banachraum
Ich wäre echt dankbar für einen Hinweis!
grüße dena
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Sa 10.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo dena!
> Für x = [mm](s_{n}) \in l^{1}[/mm] setze
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] = [mm]\sup_{n}|\summe_{j=1}^{n}s_{j}|[/mm]
> Zeige, dass [mm](l^{1}, \parallel[/mm] * [mm]\parallel)[/mm] ein normierter
> Raum ist. Ist es ein Banachraum?
Was genau ist bei dir denn [mm] $l^1$? [/mm] Ist das die Menge aller Folgen, deren oben definierte Norm $< [mm] \infty$ [/mm] ist?
> Jetzt beschäftige ich mich schon eine ganze Zeit mit dieser
> Aufgabe, doch ich weiß nicht so recht, ob das stimmt, was
> ich zeige..
>
> Dass [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm] eine Norm ist, müsste mir
> gelungen sein zu zeigen und somit folgt doch [mm](l^{1}, \parallel[/mm]
> * [mm]\parallel)[/mm] ist ein normierter Raum!?
Ja.
> Zur Frage, ob Banachraum?
> Meine Antwort: Nein, weil nicht vollständig bzw.
>
> [mm]l^{1}[/mm] mit [mm]\parallel[/mm] * [mm]\parallel[/mm] nicht abgeschlossen:
Haengt davon ab was du mit abgeschlossen meinst... Nicht vollstaendig bzgl. [mm] $\parallel [/mm] * [mm] \parallel$ [/mm] waer die richtige Bezeichnung.
> [mm]l^{1}[/mm] = [mm]\summe_{j=1}^{n}|s_{j}|[/mm]
>
> n [mm]\in \IN[/mm]
> [mm]x_{n}=(1, \bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},[/mm] ...,
> [mm]\bruch{1}{n},[/mm] 0, 0, ...) [mm]\in l^{1}[/mm]
> x = (1, [mm]\bruch{1}{2}, \bruch{1}{3},[/mm]
> ..., [mm]\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n+1},[/mm] ...) --> harmonische
> Reihe: [mm]\summe_{j=1}^{\infty}\bruch{1}{n}[/mm] = [mm]\infty \not\in l^{1}[/mm]
Ja, $x [mm] \not\in l^1$, [/mm] aber ist [mm] $x_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] denn eine Cauchy-Folge bzgl. [mm] $\parallel [/mm] * [mm] \parallel$? [/mm] Wenn es eine waere, dann wuerde die harmonische Reihe konvergieren. Und das stimmt nicht.
Der Raum ist bzgl. dieser Norm uebrigens vollstaendig. Wenn du eine Folge [mm] $x_n \in l^1$, [/mm] $n [mm] \in \IN$ [/mm] gegeben hast mit [mm] $x_n [/mm] = [mm] (x_{in})_{i \in \IN}$, [/mm] dann gilt natuerlich [mm] $|x_{in}| \le \parallel x_n \parallel$ [/mm] fuer jedes $i$ und jedes $n$. Wenn also die [mm] $x_n, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] eine Cauchy-Folge bilden, so auch jede Folge [mm] $x_{in}, [/mm] n [mm] \in \IN$ [/mm] (fuer festes $i$). Sprich, zu jedem $i$ gibt es ein [mm] $y_i \in \IN$ [/mm] mit [mm] $\lim_{n\to\infty} x_{in} \to y_i$. [/mm] Setze nun $x := [mm] (y_i)_{i \in \IN}$. [/mm] Jetzt musst du zeigen, dass [mm] $\parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] < [mm] \infty$ [/mm] ist und das wirklich [mm] $\lim_{n\to\infty} x_n [/mm] = x$ ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 Sa 10.02.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo dena,
noch eine kleine Anmerkung, die ich grad vergessen hab: die hier vorkommende Norm ist nicht die Supremumsnorm auf [mm] $l^1$, [/mm] sondern die ganz normale [mm] $l^1$-Norm.
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:57 Mo 05.03.2007 | | Autor: | dena |
Hallo Felix!
Vielen Dank für deine Hilfe 
LG dena
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