l.u/l.a, span(M), Dimension < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei die Menge [mm] M\subseteq\IR_{\le3}[x],
[/mm]
[mm] M={x^{3}-x^{2},x^{3}+1,x^{2}+1}.
[/mm]
a) Begründen sie kurz und ohne Teilraumkriterien zu bemühen, dass span(M) ein Teilraum des Vektorraums [mm] \IR_{\le3}[x] [/mm] ist.
b) Beweisen Sie, dass die Vektoren inM linear abhängig sind.
c) Zeigen Sie, dass [mm] {x^{3}-x^{2},x^{2}+1}\subsetM [/mm] ein Erzeugendensystem von span(M) ist.
d) Bestimmen Sie eine Basis von span(M) und geben Sie die Dimension von span(M) an. |
Frage: Reichen folgende Antworten/Lösungen?
a) span(M) ist ein Teilraum des Vektorraumes [mm] \IR_{\le3}[x], [/mm] da die Elemente [mm] x^{3}-x^{2}, x^{3}+1,x^{2}+1 [/mm] Polynome mit dem Grad [mm] \le [/mm] 3 sind.
b) Allgemein: Die Vektoren [mm] v_{1},v_{2}, [/mm] ... [mm] v_{n} [/mm] heißen linear unabhängig, falls [mm] \alpha_{1}v_{1}+\alpha_{2}v_{2}+ [/mm] ... + [mm] \alpha_{n}v_{n} [/mm] nur dann möglich ist, wenn [mm] \alpha_{1}= \alpha_{2}= [/mm] ... = [mm] \alpha_{n}=0
[/mm]
--> [mm] \alpha_{1}(x^{3}-x^{2})+ \alpha_{2}(x^{3}+1)+ \alpha_{3}(x^{2}+1)=0.
[/mm]
Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn [mm] \alpha_{1}= \alpha_{2}= \alpha_{3}=0.
[/mm]
c) [mm] {x^{3}-x,x^{2}+1}\subsetM [/mm] ist ein Erzeugendensystem von span(M), da die Vektoren [mm] x^{3}-x,x^{2}+1 [/mm] den Unterraum M aufspannen.
[mm] x^{3}-x^{2}+x^{2}+1=x^{3}+1
[/mm]
d) [mm] \vmat{ 1 & -1 & 0 \\ 1 & 0 &1 \\ 0 & 1 & 1 } [/mm] --> ... --> [mm] \vmat{ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 &1 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] (NZSF)
[mm] Basis(span(M))={x^{3}+1,x^{2}+1}
[/mm]
Dimension von span(M)=2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:26 Mi 07.12.2011 | | Autor: | Stoecki |
zu b) würde ich natürlich die rechnung präsentieren. sonst siehts gut aus
Gruß Bernhard
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