l.u. von 2 Eigenvektoren Bewei < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:02 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Incibus |
| Aufgabe | | Seien [mm] \lambda_{1} [/mm] und [mm] \lambda_{2} [/mm] zwei verschiedene Eigenwerte der linearen Abbildung T: [mm] U\toU [/mm] mit den zugehörigen Eigenvektoren [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2}. [/mm] Zeigen Sie, dass [mm] u_{1} [/mm] und [mm] u_{2} [/mm] linear unabhängig sind. |
wie habe ich hierbei vorzugehen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:20 Mo 23.07.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
Hier sollst einen Widerspruchsbeweis führen:
Wären [mm] u_{1}=\alpha*u_{2} [/mm] linear abhänging, dann ist auch [mm] \lambda_{1}=\lambda_{2}, [/mm] da
[mm] \lambda_{1}u_{2}=\alpha\lambda_{1}u_{1}=\alpha*T(u_{1})=...=\lambda_{2}u_{2}.
[/mm]
Es fehelen nur zwie Umformungen, auf die du selber kommen solltest :)
Gruß,
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:27 Mo 23.07.2007 | | Autor: | Incibus |
komme da nicht wirklich drauf..
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> komme da nicht wirklich drauf..
Hallo,
gehen wir es geringfügig anders an.
Seien wie zuvor die [mm] \lambda_i [/mm] verschiedene Eigenwerte von T mit ihren Eigenvektoren [mm] u_i. [/mm] (i=1,2)
Nun nehmen wir an (um es zu widerlegen), daß [mm] u_1 [/mm] und [mm] u_2 [/mm] linear abhängig sind. Dann gibt es ein [mm] \alpha\not=0 [/mm] mit [mm] u_1=\alpha u_2.
[/mm]
==> es ist [mm] 0=u_1-\alpha u_2
[/mm]
==> (warum?) 0= [mm] T(u_1-\alpha u_2)=... [/mm] Das rechne jetzt aus.
Gruß v. Angela
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