kurze Frage zu einem Beweis < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:58 Mo 20.07.2015 | | Autor: | X3nion |
Ein herzliches Hallo an euch, liebe Community
Ich habe eine Frage zum Umordnungssatz bei Reihen. In der Literatur habe ich einen Beweis gelesen, welcher für mich durchaus Sinn macht. Allerdings verstehe ich den letzten Schritt nicht, der aus einer Dreiecksungleichung besteht.
Umordnungssatz: Sei [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] eine absolut konvergente Reihe von komplexen Zahlen mit Wert A. Dann konvergiert jede Umordnung der Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{n} [/mm] , also jede Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} a_{\gamma(n)} [/mm] für jede bijektive Abbildung [mm] \gamma: \IN_{0} \to \IN_{0} [/mm]
Beweis:
Sei [mm] \gamma [/mm] : [mm] \IN_{0} \to \IN_{0} [/mm] bijektiv. Es ist zu zeigen:
[mm] \limes_{m\rightarrow\infty} \summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)} [/mm] = A.
Sei nun [mm] \varepsilon [/mm] > 0 beliebig vorgegeben. Da [mm] \summe_{k=0}^{\infty} |a_{k}| [/mm] konvergiert, gibt es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] ein [mm] n_{0} \in \IN_{0}, [/mm] so dass
[mm] \summe_{k=n_{0}}^{\infty} |a_{k}| [/mm] < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] ist. Daraus folgt
| A - [mm] \summe_{k=0}^{n_{0} - 1} a_{k} [/mm] | = | [mm] \summe_{k=n_{0}}^{\infty} a_{k} [/mm] | [mm] \le \summe_{k=n_{0}}^{\infty} |a_{k} [/mm] | < [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] .
Da [mm] \gamma [/mm] bijektiv ist, kann man ein N [mm] \in \IN_{0} [/mm] derart groß wählen, dass
[mm] \{0, 1, ..., n_{0} - 1\} \subset \{ \gamma(0), \gamma(1), ..., \gamma(N) \} [/mm] ist.
Dann gilt für alle m [mm] \ge [/mm] N :
[mm] |\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)} [/mm] - A | [mm] \le |\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k}| [/mm] - [mm] |\summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k} [/mm] - A| [mm] \le \summe_{k=n_{0}}^{\infty} |a_{k}| [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] .
Nun zu meinem Verständnisproblem. In der letzten Zeile ist ja:
[mm] |\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)} [/mm] - A | [mm] \le |\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k}| [/mm] - [mm] |\summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k} [/mm] - A| [mm] \le \summe_{k=n_{0}}^{\infty} |a_{k}| [/mm] + [mm] \bruch{\varepsilon}{2} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] .
Ich denke mir als Zwischenschritt folgendes, da ja bei Konvergenzbeweisen die "null" geschickt addiert und wieder subtrahiert und dann die Dreiecksungleichung angewandt wird. Allerdings käme ich dann auf eine etwas andere Dreiecksungleichung.
[mm] |\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)} [/mm] - A | = [mm] |\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)} [/mm] + [mm] \summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k} [/mm] - A| [mm] \le |\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)} [/mm] - [mm] \summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k}| [/mm] + [mm] |\summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k} [/mm] - A|
Ich habe jeweils das + und - rot markiert, damit man die für mich unschlüssige Stelle sieht. Könnt ihr mir da vielleicht weiterhelfen, wieso beim Beweis ein Minus steht, ich aber durch den Zwischenschritt auf ein plus komme?
Ich wäre euch sehr dankbar!
Viele Grüße,
Christian
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:02 Mo 20.07.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo X3nion!
> Nun zu meinem Verständnisproblem. In der letzten Zeile ist
> ja:
>
> [mm]|\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)}[/mm] - A | [mm]\le |\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)}[/mm]
> - [mm]\summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k}|[/mm] - [mm]|\summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k}[/mm]
> - A| [mm]\le \summe_{k=n_{0}}^{\infty} |a_{k}|[/mm] +
> [mm]\bruch{\varepsilon}{2}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm] .
>
> Ich denke mir als Zwischenschritt folgendes, da ja bei
> Konvergenzbeweisen die "null" geschickt addiert und wieder
> subtrahiert und dann die Dreiecksungleichung angewandt
> wird. Allerdings käme ich dann auf eine etwas andere
> Dreiecksungleichung.
>
>
> [mm]|\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)}[/mm] - A | = [mm]|\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)}[/mm]
> + [mm]\summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k}[/mm] - [mm]\summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k}[/mm]
> - A| [mm]\le |\summe_{k=0}^{m} a_{\gamma(k)}[/mm] -
> [mm]\summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k}|[/mm] + [mm]|\summe_{k=0}^{n_{0}-1} a_{k}[/mm]
> - A|
>
> Ich habe jeweils das + und - rot markiert, damit man die
> für mich unschlüssige Stelle sieht. Könnt ihr mir da
> vielleicht weiterhelfen, wieso beim Beweis ein Minus steht,
> ich aber durch den Zwischenschritt auf ein plus komme?
Das ist schlichtweg ein Tippfehler in deiner Quelle:
Es muss + heißen.
Dann passt alles.
Gut aufgepasst von dir! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:15 Mi 22.07.2015 | | Autor: | X3nion |
Hallo Tobias,
vielen Dank für deine zügige Antwort!
Dann macht der Beweis auch endgültig für mich Sinn :)
Viele Grüße,
Christian
|
|
|
|
