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kurvenschar bei e-funktion: aufgabe b
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:58 Mi 21.12.2005
Autor: djvital

Aufgabe
für jedes t>0 ist eine Funktion ft gegeben durch ft(x)=e-e(hochx) . das schaubild von ft sei Kt.
a) untersuche Kt auf schnittpunkte mit den koordinatenachsen(samt steigungen in diesen punkten) und auf asymptoten. zeichne Kt.
b) Zeige: die tangenten aller kurven Kt im Schnittpunkt von Kt mit der x-achse haben einen punkt gemeinsam. gib diesen punkt an.
c) die tangente und die normale im schnittpunkt von Kt mit der y-achse schneiden aus der x-achse eine strecke aus.. für welche kurve Kt wird die länge dieser strecke extremal? handelt es sich um ein maximum oder minimum? gib den etremwert der streckenlänge an.

mein problem liegt bei b, wobei ich weiß das es eine einfach lösung ist, nur habe ich im moment ein filmriß. also tangentengleichung lautet:
y=m*x+c
m ergibt sich durch einsetzen des x-wertes der nullstelle in die erste ableitung (f'(x)=t*e(hoch t*x):

nullstelle: 1/t    =>        f´(1/t) = t*e(hoch t*1/t) = t*e

nun kommt die steigung und die nullstelle in die allgemeine gleichung der tangente um c zu bestimmen, es ergibt sich:

0=t*e*(1/t) + c
c=-e

tangentengleichung lautet dementsprechend:

y=(1/t)x - e

um einen gemeinsamen punkt für alle tangenten zu ermitteln müssen 2 verschieden variablen einegsetzt und die resultierenden gleichungen gleichgesetzt werden:

bedingung     a ungleich b

eax- e = ebx - e

wenn ich es auf diesem wege weiter mache, kommt raus:
a=b  das ist allerdings ausgeschlossen.
wo liegt mein fehler oder wo ist der trick hierbei, hab das schon mal gemacht aber komm irgendwie nicht auf den trick, so schwer kann er nicht sein.
bitte um hilfe.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
kurvenschar bei e-funktion: Durch x geteilt?
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:27 Mi 21.12.2005
Autor: Loddar

Hallo djvital,

[willkommenmr] !!


Wie lautet denn nun Deine Funktion? [mm] $f_t(x) [/mm] \ = \ [mm] e-e^{t*x}$ [/mm] ?


Dann hast Du einen kleinen Fehler in der Ableitung gemacht:

[mm] $f_t'(x) [/mm] \ = \ [mm] \red{-}t*e^{t*x}$ [/mm]


Deine anderen Ansätze sehen sehr gut aus [ok] ...


> eax- e = ebx - e

Durch den obigen Fehler genau umgekehrt: $e-ea*x \ = \ e-eb*x$

  
> wenn ich es auf diesem wege weiter mache, kommt raus:
> a=b  das ist allerdings ausgeschlossen. wo liegt mein fehler?

Du hast beim Umstellen genau den gesuchten x-Wert unterschlagen: wahrscheinlich hast Du irgendwann mal durch $x_$ geteilt, oder?

Und hier musst Du Dich vorher vergewissern, dass Du nicht durch $0_$ teilst, was ja bekannterweise verboten ist ;-) .


Besser so vorgehen:

$e-ea*x \ = \ e-eb*x$     [mm] $\gdw$ [/mm]     $0 \ = \ eb*x-ea*x \ = \ e*x*(b-a)$


Und nun ist ein Produkt genau dann gleich $0_$, wenn (mind.) einer der Faktoren gleich $0_$ ergibt. Also ...


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
kurvenschar bei e-funktion: rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:44 Mi 21.12.2005
Autor: djvital

Aufgabe
aufgabe b

also ist der gemeinsame punkt G(0/-e) ?

wenn also nur noch ein faktor null sein muss
0=e*x*(b-a)

x=0

einsetzen in tangentengleichung

y=-t*e*0-e
y=-e

also ist G (0/-e)

ist das richtig?
Bezug
                        
Bezug
kurvenschar bei e-funktion: Vorzeichenfehler
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Mi 21.12.2005
Autor: Loddar

Hallo djvital!


Fast ... ich erhalte als gemeinsamen Punkt: $G \ [mm] \left( \ 0 \ ; \ \red{+}e \ \right)$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
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