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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 Sa 19.11.2011 | | Autor: | mwieland |
| Aufgabe | diskutieren Sie folgende kurve:
f(x) = [mm] \bruch{e^{2x-1}}{\vmat{x}} [/mm] |
hallo!
ich habe folgende kurve diskutiert und bitte euch kurz um eure hilfe/kontrolle, ob ich wohl alles richtig gemacht habe (nicht dass ich mir falsche sachen für die klausur einpräge...)
Der Definitionsbereuch ist [mm] \IR [/mm] \ 0
Die Funktion ist stetig in D, da sie eine zusammensetzung von stetigen funktionen ist.
Es gibt keine reellen Nullstellen, da die e-fkt ja nie null werden kann.
Differenzierbarkeit:
für x > 0 --> f(x) = [mm] \bruch{e^{2x-1}}{x}
[/mm]
diffbar im intervall [mm] [0^{+},\infty], [/mm] da zusammensetzung von diffbaren funktionen
für x < 0 --> f(x) = [mm] \bruch{e^{-2x-1}}{-x}
[/mm]
diffbar im Intervall [mm] [-\infty,0^{-}], [/mm] da wiederum zusammensetzung von diffbaren funktionen
ich hab mir die funktion dann mal 2x abgeleitet, die ableitungen wurden mit einem graphischen rechner überprüft, also die sollten passen.
für die extrema bekomme ich dann für x > 0 ein Minimum bei [mm] \bruch{1}{2}, [/mm] für x < 0 ein Minimum bei [mm] -\bruch{1}{2}.
[/mm]
und da die zweite ableitung keine nullstellen hat (in beiden fällen) gibt es keinen wendepunkt.
es wäre toll wenn von euch jemand so nett wäre und mir kurz sagen könnte ob das soweit richtig ist bzw. wo die fehler liegen.
vielen dank und freundliche grüße,
mark
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Hallo mwieland,
> diskutieren Sie folgende kurve:
>
> f(x) = [mm]\bruch{e^{2x-1}}{\vmat{x}}[/mm]
> hallo!
>
> ich habe folgende kurve diskutiert und bitte euch kurz um
> eure hilfe/kontrolle, ob ich wohl alles richtig gemacht
> habe (nicht dass ich mir falsche sachen für die klausur
> einpräge...)
>
> Der Definitionsbereuch ist [mm]\IR[/mm] \ 0
>
> Die Funktion ist stetig in D, da sie eine zusammensetzung
> von stetigen funktionen ist.
>
> Es gibt keine reellen Nullstellen, da die e-fkt ja nie null
> werden kann.
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Differenzierbarkeit:
>
> für x > 0 --> f(x) = [mm]\bruch{e^{2x-1}}{x}[/mm]
> diffbar im intervall [mm][0^{+},\infty],[/mm] da zusammensetzung
> von diffbaren funktionen
>
Das Intervall, das Du meinst, schreibt sich so: [mm]\left]0, \infty[[/mm]
> für x < 0 --> f(x) = [mm]\bruch{e^{-2x-1}}{-x}[/mm]
> diffbar im Intervall [mm][-\infty,0^{-}],[/mm] da wiederum
> zusammensetzung von diffbaren funktionen
>
Auch hier: [mm]\left]-\infty, 0[[/mm]
> ich hab mir die funktion dann mal 2x abgeleitet, die
> ableitungen wurden mit einem graphischen rechner
> überprüft, also die sollten passen.
>
> für die extrema bekomme ich dann für x > 0 ein Minimum
> bei [mm]\bruch{1}{2},[/mm] für x < 0 ein Minimum bei
> [mm]-\bruch{1}{2}.[/mm]
>
Es gibt nur ein Extremum.
> und da die zweite ableitung keine nullstellen hat (in
> beiden fällen) gibt es keinen wendepunkt.
>
> es wäre toll wenn von euch jemand so nett wäre und mir
> kurz sagen könnte ob das soweit richtig ist bzw. wo die
> fehler liegen.
>
> vielen dank und freundliche grüße,
>
> mark
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Sa 19.11.2011 | | Autor: | mwieland |
> > für die extrema bekomme ich dann für x > 0 ein Minimum
> > bei [mm]\bruch{1}{2},[/mm] für x < 0 ein Minimum bei
> > [mm]-\bruch{1}{2}.[/mm]
> >
>
>
> Es gibt nur ein Extremum.
>
ok ok, wie mache ich dann die fallunterscheidung richtig bei solchen sache, denn im prinzip wenn ich die beiden fälle so aufspalte, bekomme ich ja im grunde genommen 2 verschiedene funktionen --> 2 extrema...
lg mark
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Hallo mwieland,
> > > für die extrema bekomme ich dann für x > 0 ein Minimum
> > > bei [mm]\bruch{1}{2},[/mm] für x < 0 ein Minimum bei
> > > [mm]-\bruch{1}{2}.[/mm]
> > >
> >
> >
> > Es gibt nur ein Extremum.
> >
>
> ok ok, wie mache ich dann die fallunterscheidung richtig
> bei solchen sache, denn im prinzip wenn ich die beiden
> fälle so aufspalte, bekomme ich ja im grunde genommen 2
> verschiedene funktionen --> 2 extrema...
>
Die Ableitung lautet für x>0: [mm]\bruch{\left(2*x-1\right)*e^{2x-1}}{x^2}[/mm]
Für x <0: [mm]-\bruch{\left(2*x-1\right)*e^{2x-1}}{x^2}[/mm]
Beide Ableitung haben nun dieselbe Nullstelle [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm]
Dies ist nur für x>0 ein Extremum,
da x<0 und [mm]x=\bruch{1}{2}[/mm] nicht gleichzeitig erfüllbar sind.
> lg mark
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Sa 19.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ok ich habe den betrag ein bisschen anders aufgeteilt denke ich mal...
für x>0 -> f(x) = [mm] \bruch{e^{2x-1}}{x} [/mm] --> f'(x) = [mm] \bruch{e^{2x-1}(2x-1)}{x^{2}}
[/mm]
für x<0 -> f(x) = [mm] \bruch{e^{-2x-1}}{-x} [/mm] --> f'(x) = [mm] \bruch{e^{-2x-1}(2x+1)}{x^{2}}
[/mm]
und dann komme ich einmal auf [mm] \bruch{1}{2} [/mm] und einmal eben auf [mm] -\bruch{1}{2}
[/mm]
stimmt das also nicht oder?
dank und lg
mark
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:45 Sa 19.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> ok ich habe den betrag ein bisschen anders aufgeteilt denke
> ich mal...
>
> für x>0 -> f(x) = [mm]\bruch{e^{2x-1}}{x}[/mm] --> f'(x) =
> [mm]\bruch{e^{2x-1}(2x-1)}{x^{2}}[/mm]
Richtig
>
> für x<0 -> f(x) = [mm]\bruch{e^{-2x-1}}{-x}[/mm]
das ist leider falsch! nur das x im betrag wird für neg x durch -x ersetzt, also ist richtig für x<0 !
f(x) = [mm]\bruch{e^{2x-1}}{-x}[/mm]
>--> f'(x) =
> [mm]\bruch{e^{-2x-1}(2x+1)}{x^{2}}[/mm]
entsprechend falsch, es ist einfach das negative von f(x) und f'(x) für x>0
> und dann komme ich einmal auf [mm]\bruch{1}{2}[/mm] und einmal eben
> auf [mm]-\bruch{1}{2}[/mm]
das 2 te stimmt nicht für x<0 gibts keine nullstelle von f(x)
> stimmt das also nicht oder?
für x>0 ist dein ergebnis richtig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:48 Sa 19.11.2011 | | Autor: | mwieland |
danke dir, ich war natürlich so kurzsichtig und habe alle x gleich "negativiert", blöder fehler, aber so merkt man sich's wahrscheinilch am besten ;)
vielen dank für eure hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 19.11.2011 | | Autor: | mwieland |
wenn ich das ganze jetzt auf monotonie überprüfen will:
ich weiß ja, dass f(0) nicht definiert ist. und ich weiß auch, dass 1/2 ein MIN ist, und ich weiß dass die funktion links und rechts von 0 stetig ist. ich würde dann so vorgehen, ich hoffe das stimmt so...
ich würde als erstes das intervall [mm] ]-\infty,0[ [/mm] anschauen. würde die erste ableitung nehmen, denn die wird ja mit 0 verglichen um herauszufinden ob es wachsend oder fallend ist. dann würde ich einfach einen beliebiegen wert im intervall einsetzen, und dann den funktionswert mit 0 vergleichen.
dasselbe dann für das intervall [mm] ]0,\bruch{1}{2}[ [/mm] und dann nochmal vür [mm] [\bruch{1}{2},\infty]
[/mm]
kann man das so machen, dass man einfach sich einen beliebigen wert im intervall raussucht und das dann mit 0 vergleicht? denn die funktion ist ja immer im jeweiligen intervall stetig, nicht wahr?
auf dieselbe art und weise würde ich dann auch auf das krümmungsverhalten untersuchen, natürlich halt mit der 2. abl. der f und auch nur für links und rechts von null, da das minimum beim krümmungsverhalten ja keine rolle spielt oder? wenn dort noch wendepunkte oder sattelpunkte wären, dann müsste ich diese auch einfach durch die aufspaltung in einzelne teilintervalle berücksichtigen, denke ich mir zumindest mal.
könnte meine annahmen bitte jemand von euch bestätigen/entkräften?
vielen dank,
lg mark
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> wenn ich das ganze jetzt auf monotonie überprüfen will:
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> ich weiß ja, dass f(0) nicht definiert ist. und ich weiß
> auch, dass 1/2 ein MIN ist, und ich weiß dass die funktion
> links und rechts von 0 stetig ist. ich würde dann so
> vorgehen, ich hoffe das stimmt so...
>
> ich würde als erstes das intervall [mm]]-\infty,0[[/mm] anschauen.
> würde die erste ableitung nehmen, denn die wird ja mit 0
> verglichen um herauszufinden ob es wachsend oder fallend
> ist. dann würde ich einfach einen beliebiegen wert im
> intervall einsetzen, und dann den funktionswert mit 0
> vergleichen.
>
> dasselbe dann für das intervall [mm]]0,\bruch{1}{2}[[/mm] und dann
> nochmal vür [mm][\bruch{1}{2},\infty][/mm]
>
> kann man das so machen, dass man einfach sich einen
> beliebigen wert im intervall raussucht und das dann mit 0
> vergleicht? denn die funktion ist ja immer im jeweiligen
> intervall stetig, nicht wahr?
Man kann es so machen. Die korrekte begründung ist aber, dass die Ableitung stetig ist. Damit kannst du argumentieren, wenn f' in einem Intervall keine Nullstelle hat, so muss das Vorzeichen konstant sein.
>
> auf dieselbe art und weise würde ich dann auch auf das
> krümmungsverhalten untersuchen, natürlich halt mit der 2.
> abl. der f und auch nur für links und rechts von null, da
> das minimum beim krümmungsverhalten ja keine rolle spielt
> oder? wenn dort noch wendepunkte oder sattelpunkte wären,
> dann müsste ich diese auch einfach durch die aufspaltung
> in einzelne teilintervalle berücksichtigen, denke ich mir
> zumindest mal.
Geht, wenn f'' stetig ist.
>
> könnte meine annahmen bitte jemand von euch
> bestätigen/entkräften?
>
> vielen dank,
>
> lg mark
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:06 So 20.11.2011 | | Autor: | mwieland |
ok danke. ich denke ich kann das eigentlich immer so machen wenn ich ein stetiges f(x) habe, denn die ableitungen funktionen die auf einem intervall stetig sind, sind ja auch wieder auf demselben intervall stetig oder?
lg mark
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> ok danke. ich denke ich kann das eigentlich immer so machen
> wenn ich ein stetiges f(x) habe, denn die ableitungen
> funktionen die auf einem intervall stetig sind, sind ja
> auch wieder auf demselben intervall stetig oder?
>
> lg mark
Es gibt Beispiele von differentierbaren Funktionen, wo die Ableitung nicht stetig ist, d.h. du musst ein bisschen vorsichtig sein.
Der "Normalfall" ist jedoch, dass die Ableitungsfunktion stetig ist und dann kannst du so argumentieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:50 Mo 21.11.2011 | | Autor: | mwieland |
danke dir! welche methode kann man sonst noch hernehmen um auf monotonie bzw. krümmungsverhalten zu überprüfen?
dank und lg
mark
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Mo 21.11.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
für die -stückweise- Monotonie musst du eigentlich nur f' ansehen und zwar zw. [mm] -\infty [/mm] und dem erstem max oder Min oder Unstetigkeitsstelle, hier also zw. [mm] -\infty [/mm] und 0
du zeigst dass für alle x in dem gebiet f'>0 also steigend.
Wert einsetzen ist deshab auch möglich, da du in dem gebiet kein min oder max hast also das vorzeichen von f' nicht wechseln kann.
dann von 0 bis zum Min. da man ein Min hat ist klar es muss fallen, danach steigen. fertig.
Krümmung entsprechend mit f''
Gruss leduart
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