kürzester Abstand eines Punkte < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:31 Mo 30.03.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Welcher Punkt der Geraden g: [mm] \vec{r}=t\vektor{1\\1\\1} [/mm] hat den kürzesten Abstand vom Punkt Q(3|0|0)? Wie gross ist dieser Abstand?
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Guten Abend,
kürzester Abstand = rechtwinkliger Abstand .... oder Ableitung....
doch wie fange ich an??
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und bin für jede Antwort dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:15 Di 31.03.2009 | | Autor: | glie |
> Welcher Punkt der Geraden g: [mm]\vec{r}=t\vektor{1\\1\\1}[/mm] hat
> den kürzesten Abstand vom Punkt Q(3|0|0)? Wie gross ist
> dieser Abstand?
>
> Guten Abend,
Hallo,
>
> kürzester Abstand = rechtwinkliger Abstand .... oder
> Ableitung....
>
> doch wie fange ich an??
Es gibt mehrere Möglichkeiten:
Wenn ihr das Skalarprodukt schon besprochen habt, dann ist es am einfachsten, den Verbindunksvektor zwischen Q und dem allgemeinen Geradenpunkt G(t/t/t) aufzustellen und dann den Parameter t so zu bestimmen, dass dieser Verbindungsvektor auf die Gerade g senkrecht steht.
Welche Bedingung erhältst du dann?
Welche Gleichung ergibt sich?
Ohne Skalarprodukt gehts auch:
Du stellst den Verbindungsvektor zwischen Q und dem allgemeinen Geradenpunkt G(t/t/t) auf und bestimmst dessen Länge.
Da solltest du einen Term mit Variable t bekommen, den du als Abstandsfunktion auffassen kannst. Von dieser Funktion bestimmst du das Minimum.
Bekommst du das hin?
Gruß Glie
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> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt und
> bin für jede Antwort dankbar.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:11 Di 31.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi Glie,
ich verstehe nicht wie deine Ansätze gemeint sind
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:27 Di 31.03.2009 | | Autor: | glie |
Hallo,
also am einfachsten ist das Skalarprodukt.
Kennst du folgenden Satz:
Zwei Vektoren stehen genau dann aufeinander senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt den Wert Null hat.
?
Die kürzeste Verbindung von einem Punkt zu einer Gerade ist doch das Lot!
Skizziere dir eine Gerade g und einen Punkt Q der nicht auf der Gerade liegt.
Stell dir jetzt den allgemeinen Geradenpunkt G auf der Gerade g vor, stell dir vor wie er auf der Gerade g hin- und her wandert. Wir müssen den Punkt G so bestimmen, dass der Verbindungsvektor [mm] \overrightarrow{QG} [/mm] auf g senkrecht steht.
Und die Bedingung dafür ist, dass das Skalarprodukt von [mm] \overrightarrow{QG} [/mm] mit dem Richtungsvektor von g Null ergibt.
Das ergibt eine einfache Gleichung, aus der man t ermitteln kann.
Somit hat man den Lotfußpunkt gefunden. Jetzt brauchst du bloß noch den Abstand von Q zu diesem Lotfußpunkt.
Wenn du das Skalarprodukt noch nicht hast, dann gehts nur so:
Q(3/0/0)
allgemeiner Geradenpunkt G(t/t/t)
[mm] \overrightarrow{QG}=\vektor{t-3 \\ t \\ t}
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{QG}|=\wurzel{(t-3)^2+t^2+t^2}=\wurzel{3t^2-6t+9}
[/mm]
Also Abstandsfunktion [mm] f(t)=\wurzel{3t^2-6t+9}
[/mm]
Minimum bestimmen:
f'(t)=...
Kommst du so weiter?
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:33 Di 31.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi Glie,
damit komme ich auf (1|1|1) und 4.26 für den Abstand, stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:39 Di 31.03.2009 | | Autor: | glie |
> Hi Glie,
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> damit komme ich auf (1|1|1) und 4.26 für den Abstand,
> stimmt das so?
Der Lotfußpunkt ist korrekt, aber wie kommst du auf 4,26 als Abstand???
Q(3/0/0) und Lotfußpunkt L(1/1/1)
also
[mm] \overrightarrow{QL}=\vektor{-2 \\ 1 \\ 1}
[/mm]
und
[mm] |\overrightarrow{QL}|=\wurzel{(-2)^2+1^2+1^2}=\wurzel{6}
[/mm]
Gruß Glie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Di 31.03.2009 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Berechne den Abstand des Punktes Q(5|-4|3) von der Geraden durch die Punkte A(2|0|1) und B(-2|1|2).
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Hi Glie und danke für deine Hilfe,
in diesem Beispiel war ja kein Stützvektor angegeben, ist dieser denn zbsp. bei dieser Aufgabe vernachlässigbar?
Für eine Überprüfung meiner Lösung dieser Aufgabe wäre ich ebenfalls sehr dankbar:
[mm] \vec{r}=\vektor{2\\0\\1}+t\vektor{-4\\1\\1}
[/mm]
[mm] \vec{PQ}=\vektor{-4t-5\\t+4\\t-3}
[/mm]
für t erhalte ich dann [mm] \frac{-42}{36}
[/mm]
und für |PQ|=4.02077 (Betrag von [mm] \vektor{5-4.6666\\-4+1.16666\\3+1.16666}
[/mm]
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Hallo kushkush,
> Berechne den Abstand des Punktes Q(5|-4|3) von der Geraden
> durch die Punkte A(2|0|1) und B(-2|1|2).
>
> Hi Glie und danke für deine Hilfe,
>
>
>
> in diesem Beispiel war ja kein Stützvektor angegeben, ist
> dieser denn zbsp. bei dieser Aufgabe vernachlässigbar?
>
Nein, der Stützvektor ist hier durch den Ortsvektor
vom Urspung O zum Punkt A bzw. Punkt B gegeben.
>
> Für eine Überprüfung meiner Lösung dieser Aufgabe wäre ich
> ebenfalls sehr dankbar:
>
> [mm]\vec{r}=\vektor{2\\0\\1}+t\vektor{-4\\1\\1}[/mm]
Damit hast Du den Stützvektor festgelegt,
dieser ist jetzt durch den Ortsvektor vom Ursprung O zum Punkt A gegeben.
>
> [mm]\vec{PQ}=\vektor{-4t-5\\t+4\\t-3}[/mm]
Hier mußt Du rechnen:
[mm]\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OQ}-\left(\overrightarrow{OA}+t*\overrightarrow{AB}\right)=\overrightarrow{AQ}-t*\overrightarrow{AB}[/mm]
>
> für t erhalte ich dann [mm]\frac{-42}{36}[/mm]
>
> und für |PQ|=4.02077 (Betrag von
> [mm]\vektor{5-4.6666\\-4+1.16666\\3+1.16666}[/mm]
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Di 31.03.2009 | | Autor: | kushkush |
Hi und danke Mathepower,
das ergibt [mm] \vektor{3+4t\\-4-t\\2-t} [/mm] und t=-1
der Abstand damit 4.245
ist das richtig so?
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Hallo kushkush,
> Hi und danke Mathepower,
>
>
> das ergibt [mm]\vektor{3+4t\\-4-t\\2-t}[/mm] und t=-1
>
> der Abstand damit 4.245
>
>
> ist das richtig so?
Leider nicht. ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Poste doch mal Deine Rechenschritte.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Di 31.03.2009 | | Autor: | kushkush |
[mm] \vec{PQ}=\vektor{3+4t\\-4-t\\2-t}
[/mm]
jetzt muss dessen Strecke minimal sein also:
[mm] \sqrt[2]{(3+4t)^{2}+(-4-t)^{2}+(2-t)^{2}} [/mm]
da Kettenregel kommt dann sowieso nur die innere Ableitung auf den Zähler weshalb ich gerade direkt diese ableiten kann und =0 setzen kann...
ergibt mir [mm] 18t^{2}+24t+29 [/mm] dann ableiten
36t+24=0
[mm] t=-\frac{2}{3}
[/mm]
einsetzen in den obersten vektor und betragen....
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Hallo kushkush,
> [mm]\vec{PQ}=\vektor{3+4t\\-4-t\\2-t}[/mm]
>
> jetzt muss dessen Strecke minimal sein also:
>
> [mm]\sqrt[2]{(3+4t)^{2}+(-4-t)^{2}+(2-t)^{2}}[/mm]
>
> da Kettenregel kommt dann sowieso nur die innere Ableitung
> auf den Zähler weshalb ich gerade direkt diese ableiten
> kann und =0 setzen kann...
>
> ergibt mir [mm]18t^{2}+24t+29[/mm] dann ableiten
>
Da hast Du Dich verrechnet:
[mm]18t^{2}+\red{28}t+29[/mm]
> 36t+24=0
>
> [mm]t=-\frac{2}{3}[/mm]
>
> einsetzen in den obersten vektor und betragen....
>
>
>
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Di 31.03.2009 | | Autor: | kushkush |
der Abstand wäre demnach 4.256... ?
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Hallo kushkush,
> der Abstand wäre demnach 4.256... ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:53 Di 31.03.2009 | | Autor: | kushkush |
dankeschön Mathepower
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