kubischer C² Spline < Interpol.+Approx. < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:56 Mi 16.01.2008 | | Autor: | karlo |
| Aufgabe | (a) Auf dem Intervall [0, 2] sei die Funktion f gegeben durch
f(x) = 1 + (x − 1)³ , für x [mm] \varepsilon [/mm] [0, 1]
a + b x + c x2 + d x3 , für x [mm] \varepsilon [/mm] (1, 2]
Bestimmen Sie a, b, c, d [mm] \varepsilon [/mm] R derart, dass f ein kubischer C²-Spline, jedoch kein kubisches Polynom ist.
(b) Berechnen Sie dasjenige quadratische Polynom, welches die durch f(x) = x3 auf [0, 1]
gegebene Funktion am besten bezüglich der Norm || · ||², also im quadratischen Mittel, approximiert. |
Hallo!
Hat jemand einen Lösungsansatz/-weg für mich ?
Ich habe in Büchern lediglich komplizierte Ausdrücke aber keine Beispiele gefunden...
Danke,
Karlo
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Hallo karlo,
[mm] C^2 [/mm] bedeutet das die Funktion 2mal stetig differenzierbar sein soll.
Was brauchst Du dafür oder anders gesagt: Wäre die Funktion
[mm] f(x)=\begin{cases} 1+(x-1)*3, & \mbox{für } x \in [0,1] \\ 2, & \mbox{für } x \in (1,2] \end{cases}
[/mm]
stetig?
viele Grüße
mathemaduenn
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:27 Mi 16.01.2008 | | Autor: | karlo |
Hallo mathemaduenn,
tut mir leid, es hat sich oben der Fehlerteufel eingeschlichen.
Die erste Fkt lautet [mm] 1+(x-1)^3 [/mm] (wurde korrigiert).
Ich steige leider immer noch nicht richtig bei der herangehensweise durch.
Nebenbei: Die Lösung zur Aufgabe a) ist
a=1-d, b=3d, c=-3d, d [mm] \varepsilon [/mm] R für d [mm] \not= [/mm] 1 kein kub. Polynom
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> Ich steige leider immer noch nicht richtig bei der
> herangehensweise durch.
Hallo,
Du weißt sicher, daß wir von Dir eigene Lösungsansätze erwarten.
Darunter verstehen wir auch konkrete Fragen.
Ich hätte jetzt von Dir eine Schilderung Deines Problems erwartet, damit ich wüßte, an welcher Stelle ich Dir helfen kann. So muß ich leider erstmal ein paar Fragen stelle:
1. Weißt Du, was ein Kubischer Spline ist, welche Eigenschaften also das zu ergänzende Polynom haben soll?
2. Oder liegt Dein Problem im Aufstellen der Gleichungen?
3. Oder konntest Du die aufgestelleten Gleichungen nicht lösen?
Gruß v. Angela
P.S.: Ich kopiere hier mal, was ich vor einiger Zit jemandem anders zum Thema kubische Splines geschrieben habe.
"Zunächst in aller Kürze das Ziel:
Man will auf den durch die Stützstellen vorgegebenen Intervallen jeweils kubische Funktionen finden, die glatt aneinanderpassen und natürlich durch die Stützstellen gehen.
Genauer:
Du hast n+1 Stützstellen $ [mm] (x_i, y_i), [/mm] $ i=0,...,n, die $ [mm] x_i [/mm] $ aufsteigend geordnet, welche Dir $ [mm] [x_0, x_n] [/mm] $ in n Teilintervalle $ [mm] I_n [/mm] $ einteilen.
Durch diese Stützstellen will man eine glatte, stückweise def. Funktion legen, die auf den Teilintervallen jeweils ein Polynom v. Grad 3 ist.
Nun wird also eine stückweise definierte Funktion gesucht mit folgenden Eigenschaften:
1. Auf jeden dieser Intervalle $ [mm] I_i [/mm] $ ist die Teilfunktion $ [mm] f_i [/mm] $ ein Polynom v. Grad 3
2. Die Teilfunktionen haben Anfangs- und Endpunkt in den Stützstellen, sie stoßen an den Intervallenden zusammen, es ist also $ [mm] f_{i-1}(x_i)= f_i(x_i)=y_i [/mm] $
3. Die Tangenten an den Nahtstellen sind gleich: $ [mm] f'_{i-1}(x_i)= f'_i(x_i) [/mm] $
4. Die Krümmungen an den Nahtstellen sind gleich: $ [mm] f''_{i-1}(x_i)= f''_i(x_i) [/mm] $
5. Randbedingungen: wenn nichts anderes vorgegeben ist, natürliche Rb, $ [mm] f''_1(x_0)=f''_n(x_n)=0. [/mm] $
Diese Bedingungen liefern Dir ein Gleichungssystem, welches zu lösen ist."
>
> Nebenbei: Die Lösung zur Aufgabe a) ist
> a=1-d, b=3d, c=-3d, d [mm]\varepsilon[/mm] R für d [mm]\not=[/mm] 1 kein kub.
> Polynom
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