konvexität < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe eine frage zur konvexität, ich glaube ich hab da irgendwas grundlegend nciht verstanden. Es geht um die Fuktion
f(x) := exp(x1+x2) - x1 + [mm] x2^{2} [/mm] - 3*x2
man soll bestimmen ob diese funktion konvex ist... alle teile für sich sind konvex und die addition wäre das auch aber die subtraktion ist doch dann nicht zwingend konvex dachte ich, mein professor sagt in der Lösung einfach das eine kombination konvexer funktionen wieder konvex ist kann man das auch bei der subtraktion sagen und nicht nur bei der addition? und wie sieht das dann bei der multiplikation und bei der division aus?
wir hatten einen satz in der vorlesung der folgendes besagt:
eine funktion ist konvex, falls [mm] \lambda \in [/mm] [0, 1] stets folgt
f( [mm] \lambda [/mm] * x + ( 1- [mm] \lambda [/mm] ) * y) [mm] \le \lambda [/mm] * f(x) + (1 - [mm] \lambda [/mm] ) * f(y)
ich habe das damit versucht aber dummerweise scheine ich irgendwas falsch zu machen, denn bei mir ist die funktion leider immer nicht konvex
ich wäre sehr dankbar für hilfe diesbezüglich und vielen dank an alle die sich hiermit befassen
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Di 29.03.2005 | | Autor: | Max |
Hallo,
die beiden Terme [mm] $x_1$ [/mm] und [mm] $3x_2$ [/mm] sind weder streng konkav noch streng konvex und erfüllen wegen ihrer LInearität die Gleichung
[mm] $f\left(\lambda\cdot x + (1-\lambda)\cdot y\right) [/mm] = [mm] \lambda \cdot [/mm] f(x) [mm] +(1-\lambda)\cdot [/mm] f(y)$.
Daher kann man diese beiden Terme auch subtrahieren. Im Allgemeinen wäre das nämlich tatsächlich falsch. Es gilt nämlich für zwei konvexe Funktionen $f,g$, dass auch die Linearkombination [mm] $\mu \cdot [/mm] f+ [mm] \nu \cdot [/mm] g$ konvex ist, falls [mm] $\mu, \nu \ge [/mm] 0$.
Alternativ hätte es auch gereicht direkt zu zeigen, dass [mm] $-x_1$ [/mm] und [mm] $-3x_2$ [/mm] konvex sind, dann hättest du nur noch konvexe Funktionen addiert 
Aber eigentlich hättest du auch einfach die Ungleichung zeigen können müssen. Evtl. hast du dich da immer wieder verrechnet.
Gruß Brackhaus
|
|
|
| |
|
ich habe noch ein Problem mit dem e teil aus der funktion stimmt es das
[mm] \lambda [/mm] * f(x) + ( 1 - [mm] \lambda [/mm] ) * f(y) = exp( [mm] \lambda [/mm] * x1 + (1 - [mm] \lambda [/mm] ) *x2 ) - [mm] \lambda [/mm] * x1 + ( 1- [mm] \lambda [/mm] ) * x2 ^{2} - (1 - [mm] \lambda) [/mm] * 3 * x2 ist?
aber dann hätte ich das eigentlich genauso eingesetzt wie bei f( [mm] \lambda [/mm] * x1 + ( 1- [mm] \lambda [/mm] ) y) und das kann doch eigentlich nicht sein... also zusammenfassend kriege ich das bei der e-funktion nicht getrennt. wie setze ich das also ein?
Kann man man die konvexität auch ncoh anders zeiegen? da gibts doch etwas mit der zweiten ableitung glaube ich? wie müssen dann die eigenschaften sein also wie muß die matrix, die bei der zweiten ableitung rauskommt dafür aussehen?
hier ist D^2f(x)= [mm] \pmat{ exp(x1+x2) & exp(x1+x2) \\ exp(x1+x2) & exp(x1+x2)+2 }
[/mm]
im vorraus schon mal danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:26 Mi 30.03.2005 | | Autor: | Max |
Wenn du bei Funktionen $f: [mm] \mathbb{R}^n \mapsto \IR$ [/mm] die Konvexität nachweisen willst muss ja die Hesse-Matrix positiv semidefinit sein, d.h. die Eigenwerte der Hessematrix sind alle größer gleich 0.
Es ist ja [mm] $D^2f(x)=f(x)\cdot \pmat{ 1 & 1 \\ 1 & 1 }$. [/mm] Ich gehe mal davon aus, dass der Summand $+2$ bei [mm] $\frac{ \partial^2}{ \partial x_1 \partial x_2}f(x)$ [/mm] zuviel ist.
Ich bekomme als Eigenwerte $0$ und $2$ raus. Wie erwartet.
Gruß Brackhaus
|
|
|
|
