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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:37 So 03.05.2009 | | Autor: | ella87 |
| Aufgabe | Sei [mm]S \subseteq \IR^{n}[/mm] nichtleer, konvex und kompakt. [mm]f_{S}:\IR^{n} \to \IR[/mm] sei definert als
[mm]f_{S}(w)=\max_{x \in S}w^{T}x[/mm] [mm](w \in \IR^{n})[/mm]
Zeigen Sie:
(a) [mm]f_{S}[/mm] ist positiv homogen, d.h.
[mm] f_{S}(\lambda w) = \lambda f(w)[/mm] für alle[mm]\lambda \ge 0[/mm] [mm] w \in \IR^{n}[/mm]
(b) [mm]f_{S}[/mm] ist subadditiv, d.h.
[mm] f_{S}(u+v) \le f_{S}(u) + f_{S} (v) [/mm]
(c) [mm]f_{S}[/mm] ist konvex.
(d) [mm] S = \{x \in \IR^{n} : w^{T}x \le f_{S}(w) [/mm] für alle [mm] w \in \IR^{n} \}[/mm] |
zu (a)
[mm]f_{S}(\lambda w) = \max_{x \in S}(\lambda w)^{T}x = \max_{x \in S}\lambda w_{1}x_{1}+...+\lambda w_{n}x_{n}
= \max_{x \in S} \lambda (w_{1}x_{1}+...+ w_{n}x_{n})
= \lambda \max_{x \in S}(w_{1}x_{1}+...+ w_{n}x_{n})
= \lambda f_{S}(w) [/mm]
zu (b)
[mm]f_{S}(u+v) = \max_{x \in S} (u+v)^{T}x
= \max_{x \in S} (u_{1}+v_{1})x_{1}+...+(u_{n}+v_{n})x_{n}
= \max_{x \in S} [/mm]
[mm]u_{1}x_{1}+...+u_{n}x_{n}+v_{1}x_{1}+...+v_{n}x_{n} [/mm]
[mm]\le \max_{x \in S} u_{1}x_{1}+...+u_{n}x_{n}+ \max_{x \in S} v_{1}x_{1}+...+v_{n}x_{n} [/mm]
[mm] = f_{S}(u) + f_{S} (v) [/mm]
zu(c)
zz: (1) S konvexe Menge in [mm]\IR^{n}[/mm]
(2) [mm] f(\lambda x+ (1-\lambda) y)\le \lambda f(x) + (1-\lambda)f(y)[/mm]
(1) gilt nach Vor. und (2) lässt sich nach (a) und (b) nachrechnen.
und zu (d) hab ich leider keine Idee :-(
Wär nett wenn mal jemand nach Fehlern schaut... Danke
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Di 05.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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