konvexe Funktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:21 Do 18.12.2014 | | Autor: | capri |
| Aufgabe | | Man zeige, dass eine konvexe Funktion $ f: I $ [mm] \to [/mm] $ [mm] \IR [/mm] $ auf einem offenen Intervall I kein isoliertes lokales Maximum besitzt und höchstens ein isoliertes lokales Minimum. |
Hey..
erstmal zu den Begrifflichkeiten:
konvexe Funktion bedeutet ja eine links gekrümmte Funktion.
kein isoliertes lokales Maximum: kein Hochpunkt.
ein istoliertes lokales minimum: ein Tiefpunkt.
ich stehe auf dem Schlauch weil ich nicht weiß, wie ich das zeigen kann.
ich kenne alle Bedingungen für ein Hoch- bzw. Tiefpunkt. Und kenne auch die Bedingung für eine links gekrümmte Funktion, bloß ich weiß nicht was ich damit nun jetzt anfangen soll.
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:43 Do 18.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Man zeige, dass eine konvexe Funktion [mm]f: I[/mm] [mm]\to[/mm] [mm]\IR[/mm]Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
auf
> einem offenen Intervall I kein isoliertes lokales Maximum
> besitzt und höchstens ein isoliertes lokales Minimum.
> Hey..
>
> erstmal zu den Begrifflichkeiten:
>
> konvexe Funktion bedeutet ja eine links gekrümmte
> Funktion.
arbeite nicht mit Anschaulichkeiten, sondern mit der Definition: Für alle
$x,y \in I$ und alle $r \in [0,1]$ gilt: $f(rx+(1-r)y) \le ...$?
Das Problem bei der Anschaulichkeit ist ja schon, dass Du dabei
automatisch *mit Stetigkeit* denkst; es steht aber nirgends, dass die
Funktion stetig wäre. (Eigentlich ist *linksgekrümmt* noch mehr als nur
die Stetigkeit...!)
Wenn Du "anschaulich per Definitionem" arbeiten willst: Für alle $x.y \in I$
mit o.E. $x < y$ gilt, dass die Strecke mit linkem Endpunkt $(x|f(x)) \in \IR^2$ und
rechtem Endpunkt $(y|f(y)) \in \IR^2$ oberhalb des Graphen von $\left.f\right|_{[x,y]}\,,$
welcher als
$\text{graph}(\left.f\right|_{[x,y]}):=\{(a|f(a)) \in \IR^2:\;\; a \in [x,y]\}$
bezeichnet und definiert wird, liegt.
> kein isoliertes lokales Maximum: kein Hochpunkt.
> ein istoliertes lokales minimum: ein Tiefpunkt.
Das ist zu wenig. Das Wort *isoliert* ist eines, welches hier die Bedeutung,
welche Eigenschaft die Minimal-/Maximalstelle zudem hat, verstärkt. Also:
Was ist per Definitionem etwa ein isoliertes Maximum? (Falls Du es nicht
weißt, Du musst sowas nachschlagen, es sollte in der Vorlesung stehen.
Ich habe Dir aber unten auch einen Link gesetzt!)
Wenn ich mich nicht gerade ganz vertue, könnte es Dir vielleicht auch helfen,
mal Begriffe wie "Oberhalb-" bzw. "Unterhalbstetigkeit" nachzuschlagen.
Die musst Du für die Aufgabe zwar nicht kennen, aber sie wären auch
nützlich für die Aufgabe, wenn man sie schon kennen würde.
P.S.
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikiversity.org/wiki/Funktion/Metrischer_Raum/Isoliertes_lokales_Maximum_und_Minimum/DefinitionEingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nebenbei: $d(x,x') < \varepsilon$ und $x \not=0$ kann man auch direkt als $0 \red{\,<\,}d(x,x') < \varepsilon$ schreiben!
Und dann mach' Dir mal 'ne Skizze!
$I\,$ ist offen, $x_m \in I$ sei eine Stelle, wo $f\,$ ein isoliertes lokales
Minimum besitzt. Wir nehmen an, dass $x_p$ eine weitere solche Stelle ist, und
wir können dabei o.E. $x_p > x_m$ annehmen (warum?).
Jetzt nur ein anschaulisches Argument, welches Du formal zu einem
sauberen Beweis ergänzen musst:
Betrachte die Strecke des $\IR^2$ mit linkem Randpunkt $(x_m|f(x_m))$ und rechtem
Randpunkt $(x_p|f(x_p))\,.$ Diese Strecke muss ja oberhalb des Graphen von
$\left.f\right|_{[x_m,x_p]}$ verlaufen, weil $f\,$ konvex ist. Aber:
Wenn diese Strecke parallel zur x-Achse verlaufen würde, wäre es unmöglich,
dass $f\,$ auch nur an einer der beiden Stellen ein "isoliertes lokales Minimum"
hätte. (In jeweils einer Umgebung wäre f lokal konstant $=f(x_p)$!)
Wäre diese Strecke "Teil einer steigenden Geraden" (positive Steigung!),
dann kann aber $x_p$ nicht mehr solch ein Punkt sein. Im Falle des "Teils
einer fallenden Geraden" wird $x_m$ diese Eigenschaft nicht haben können.
Damit Du eine Idee bekommst, wie man das formal aufschreiben kann,
behandle ich mal den letzten Fall, also $f(x_m) > f(x_p)$:
Für alle $x \in [x_m,x_p]$ ($x_m < x_p$ beides Elemente von I) gibt es ein $r=r_x \in [0,1]$ mit
$x=rx_m+(1-r)x_p\,.$ Wegen der Konvexität folgt
$f(x)=f(rx_m+(1-r)x_p) \le rf(x_m)+(1-r)f(x_p) < rf(x_m)+(1-r)f(x_m)=f(x_m)\,,$
(also $f(x) < f(x_m)$)
die letzte (strikte) Ungleichung folgte aus $f(x_p) < f(x_m)\,.$ Für jedes $\epsilon > 0$
ist aber $U_\epsilon(x_m) \cap [x_m,x_p] \not= \varnothing,,$ so dass $f\,$ an $x_m$ kein isoliertes lokales Minimum
haben kann!
So: Nun bist Du dran. (Ich sehe, was die Aussage mit *isoliertes Minimum*
betrifft, übrigens nirgends, dass man die Offenheit von I braucht!)
Vielleicht hast Du nun ja auch eine Idee, wie man zeigen kann, dass $f\,$
kein isoliertes lokales Maximum haben kann?
"Graphischer Hinweis": In einer geeigneten Umgebung einer solchen Stelle
$x_M \in I$ findest Du nur Funktionswerte $< f(x_M)$. Da $x_M$ im Inneren
von I liegt, kannst Du einen solchen links von $x_M$ und einen rechts von $x_M$
finden, nennen wir den linken mal $x_\ell$ und den rechten $x_r\,.$
Betrachte die Strecke mit linkem Endpunkt $(x_\ell|f(x_\ell))$ und rechtem $(x_r|f(x_r))\,.$ Zeige:
Der Punkt $(x_M|f(x_M))$ liegt oberhalb der Strecke, was wegen $x_M \in [x_\ell,x_r]$ der
Konvexität von $f\,$ widerspricht.
Also kann f an keiner Stelle von I ein isolierte lokales Maximum besitzen!
(Hier sieht man im Beweis, dass die Offenheit von I eingeht. Übrigens: Du
kannst Dir dahingehend auch
$f(x):=1-x$ für $x \ge 1$
angucken!)
P.P.S. Ich habe Dir gesagt, dass Du nicht mit Anschaulichkeiten arbeiten
sollst, und diese dann doch selbst auch benutzt. ABER: Die wirklichen
Argumente im Beweis verwenden keine Argumente, die aus der
Anschauung her kommen. Die Idee für diese Argumente kommen aus
der Anschauung! 
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:19 Fr 19.12.2014 | | Autor: | fred97 |
Ich möchte anhand dieser Aufgabe schildern, wie man einen Beweis erbringen kann, indem man die Zutaten (d.h. die Voraussetzungen ) sinnvoll und geschickt unterbringt und strategisch geschickt vorgeht, und somit von allen Schläuchen, auf denen man gestanden ist, runtergehen kann:
Der erste Punkt, der mir auffällt: die Aufgabe stinkt geradezu mach einem Widerspruchsbeweis ! Das führt zur
Annahme: f besitzt in einem [mm] x_0 \in [/mm] I doch ein isoliertes lokales Maximum. Da I offen ist, folgere ich: es gibt ein r>0 mit [mm] (x_0-r,x_0+r) \subset [/mm] I und
$f(x) [mm] \le f(x_0)$ [/mm] für alle $x [mm] \in (x_0-r,x_0+r).$
[/mm]
Spätesten jetzt mache ich mir eine Skizze dieser Situation und sage mir dann: "f kann niemals konvex sein". Somit werde ich einen Widerspruch aus der Konvexität von f bekommen. Aber wie ?
Wenn ich mir die Def. von "konvex" und die Skizze anschaue, so sehe ich:
der Graph von f verläuft oberhalb der Gerade durch die Punkte [mm] (x_0-r,f(x_0-r)) [/mm] und [mm] (x_0+r,f(x_0+r)). [/mm] Jetz habe ich aber ein Problem, denn ich habe nur [mm] (x_0-r,x_0+r) \subset [/mm] I, das bedeutet, es kann [mm] x_0-r \notin [/mm] I oder [mm] x_0+r \notin [/mm] I sein.
Was nun ? Ich schaue nochmal auf mein Bild und stelle fest: wenn ich r nur ganz wenig verkleinere bekomme ich
[mm] [x_0-r,x_0+r] \subset [/mm] I.
Da ich schreibfaul bin, setze ich [mm] a:=x_0-r [/mm] und [mm] b:=x_0+r.
[/mm]
Ab jetzt gehe ich also aus von [a,b] [mm] \subset [/mm] I und
(*) $f(x) [mm] \le f(x_0)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b].$
Die Konvexität von f habe ich immer noch nicht ins Spiel gebracht. Irgendwie sollte sowas wie
$ta+(1-t)b$ [mm] \quad [/mm] $(t [mm] \in [/mm] [0,1])$
eingehen.
Ich schaue mit meine Skize an und sehe: [mm] x_0 [/mm] liegt zwischen a und b. Da kommt mir die Idee, dass ich [mm] x_0 [/mm] so darstellen kann:
[mm] $x_0= [/mm] ta+(1-t)b$ mit einem $t [mm] \in [/mm] [0,1].$
Jetzt haue ich die Konvexität in die Pfanne:
[mm] $f(x_0)=f( [/mm] ta+(1-t)b) [mm] \le [/mm] tf(a)+(1-t)f(b).$
Und nun ? Noch nicht benutzt habe ich (*). Also probiere ich, ob ich mit (*) einen Schritt weiter komme:
(**) $ [mm] f(x_0)=f( [/mm] ta+(1-t)b) [mm] \le [/mm] tf(a)+(1-t)f(b) [mm] \le tf(x_0)+(1-t)f(x_0)=f(x_0).$
[/mm]
Schön, aber wo ist jetzt der gewünschte Widerspruch ? Wenn ich [mm] f(x_0)
Habe ich wirklich alle Voraussetzungen schon verwendet ? Ich schaue nach und stelle fest, dass von einem isolierten lokalen Max. die Rede ist.
Aha ! Statt (*) kann ich also schreiben:
$f(x) < [mm] f(x_0)$ [/mm] für alle $x [mm] \in [/mm] [a,b] [mm] \setminus \{x_0\}.$
[/mm]
(**) liefert mir dann
$ [mm] f(x_0)=f( [/mm] ta+(1-t)b) [mm] \le [/mm] tf(a)+(1-t)f(b) < [mm] tf(x_0)+(1-t)f(x_0)=f(x_0).$
[/mm]
Ganz wohl fühle ich mich beim "<" immer noch nicht. Dieses Unwohlsein kann ich aber aus dem Weg räumen, denn [mm] x_0 [/mm] liegt "echt" zwischen a und b.
In $ [mm] x_0= [/mm] ta+(1-t)b$ ist also $ t [mm] \in [/mm] (0,1)$. Nun habe ich bombenfest den Widerspruch
[mm] f(x_0)
Gruß FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Fr 19.12.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> Ich möchte anhand dieser Aufgabe schildern, wie man einen
> Beweis erbringen kann, indem man die Zutaten (d.h. die
> Voraussetzungen ) sinnvoll und geschickt unterbringt und
> strategisch geschickt vorgeht, und somit von allen
> Schläuchen, auf denen man gestanden ist, runtergehen
> kann:
ganz so kleinschrittig war mein Vorgehen zwar nicht, aber die wesentlichen
Punkte hast Du genannt.
Ich mach's jetzt aber mal so, wie es hier vorgeschlagen wird,
und ergänze dahingehend auch noch meine Sicht aus der Vogelperspektive
(das Ganze ist etwas anders, wie es dort beschrieben wird, jedenfalls vom
Ziel her; wir wollen hier zeigen, wie man die Beweisideen, die man *zu
glauben sieht* - Vogelperspektive - auch detailliert umsetzen kann - also
indem man ins Detail geht - Froschperspektive; ich denke, die Analogie ist
klar, man könnte auch sagen: "Wie kommt man von einer Beweisidee zu
einem [detaillierten] Beweis?"):
Der wichtigste Punkt, wenn man diese *Stellen mit isolierten Minima*
betrachtet, ist eigentlich, zu erkennen: Wenn man sich im [mm] $\IR^2$ [/mm] das entsprechende
Streckenstück anschaut, muss es über dem Graphen der entsprechend
eingeschränkten Funktion liegen. Das wird aber immer irgendwas bzgl.
wenigstens einer der beiden *Stellen mit isoliertem lokalen Minima*
zerstören. (Skizze - man sollte halt sich auch erstmal mit einer Skizze
klarmachen, was eigentlich *Stelle mit isoliertem lokalen Minimum* so
*anschaulich* bedeutet).
Die Froschperspektive hast Du dann wirklich sehr sehr detailliert beschrieben.
Wichtig ist halt: Bei der Vogelperspektive kann man manchmal Trugschlüssen
unterliegen. Das merkt man meistens dann, wenn man in der Froschperspektive
an entsprechender Stelle hängt/nicht weiter kommt...
Gruß,
Marcel
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