konvex, strikt konvex.. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:32 Mi 29.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo ihr Lieben : ) !
Hätte mal wieder 2 Fragen:
Kennt ihr vielleicht die Def. von strikt konvex ( konkav ) für Funktionen mit mehreren Variablen, mir reicht die für 2 Variablen?
Und könnt ihr mir zeigen, wie man z.B. bei der Fkt
f(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] + xy [mm] +y^{2} [/mm] + x + y
diese auf strikte Konkavität und strikte Konvexität prüft?
Bei Funktionen mit einer Variblen lese ich, daß, wenn die 2.Ableitung
in einem Intervall < 0 ist, dann f(x) strikt konkav ist, wenn die 2.Ableitung
> 0 ist, dann ist f(x) strikt konvex.
Und wie prüft man folgende Teilmenge von [mm] R^{2} [/mm] auf Konvexität bzw.
Konkavität?
[mm] \{(x,y) I \wurzel{x}+\wurzel{y}\ge2 \} [/mm]
Gibt da so viele Bspe zum Rechnen, brauche bestimmt nur eins vorge-
rechnet, dann weiß ich es, wie es geht : ) !!
Also, bis denne!
eini
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:40 Do 30.09.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo eini,
> Hallo ihr Lieben : ) !
>
> Hätte mal wieder 2 Fragen:
>
> Kennt ihr vielleicht die Def. von strikt konvex ( konkav )
> für Funktionen mit mehreren Variablen, mir reicht die für 2
> Variablen?
Naiverweise nehme ich an, dass man einfach die Bedingung für den ![[]](/images/popup.gif) eindimensionalen Fall verallgemeinert.
I ist dann natürlich auch ein mehrdimensionales Intervall, alles innerhalb der Bedingung ist definiert und macht Sinn.
> Und könnt ihr mir zeigen, wie man z.B. bei der Fkt
>
> f(x,y) = [mm]x^{2}[/mm] + xy [mm]+y^{2}[/mm] + x + y
>
> diese auf strikte Konkavität und strikte Konvexität
> prüft?
Zu prüfen ist also, ob
[mm]f\left(\bruch{x+y}{2}\right)<\bruch{f(x)+f(y)}{2}[/mm]
gilt, da du kein Intervall angegeben hattest, nehme ich [mm] $I=\IR^2$
[/mm]
Sei [mm] $x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2)\in [/mm] I$ [mm] ($f((x_1,x_2)) [/mm] = [mm] x_1^{2}+ x_1x_2 +x_2^{2} [/mm] + [mm] x_1 [/mm] + [mm] x_2$)
[/mm]
[mm] $f\left(\bruch{x+y}{2}\right)<\bruch{f(x)+f(y)}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $f\left(\bruch{(x_1,x_2)+(y_1,y_2)}{2}\right)<\bruch{f((x_1,x_2))+f((y_1,y_2))}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $f\left(\left(\bruch{x_1+y_1}{2},\bruch{x_2+y_2}{2}\right)\right)<\bruch{f((x_1,x_2))+f((y_1,y_2))}{2}$
[/mm]
Auswertung des Funktionsterms:
[mm] $\gdw$ $f\left(\left(\bruch{x_1+y_1}{2},\bruch{x_2+y_2}{2}\right)\right)<\bruch{f((x_1,x_2))+f((y_1,y_2))}{2}$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $\left(\bruch{x_1+y_1}{2}\right)^{2}+ \left(\bruch{x_1+y_1}{2}\right)\left(\bruch{x_2+y_2}{2}\right) +\left(\bruch{x_2+y_2}{2}\right)^{2} [/mm] + [mm] \left(\bruch{x_1+y_1}{2}\right) [/mm] + [mm] \left(\bruch{x_2+y_2}{2}\right) [/mm] < [mm] \bruch{x_1^{2}+ x_1x_2 +x_2^{2} + x_1 + x_2 + y_1^{2}+ y_1y_2 +y_2^{2} + y_1 + y_2}{2}$
[/mm]
Das sieht zwar lang und aufwändig aus, ist aber ganz einfach zu vereinfachen -- eine tolle Übung für dich! 
> Bei Funktionen mit einer Variblen lese ich, daß, wenn die
> 2.Ableitung
> in einem Intervall < 0 ist, dann f(x) strikt konkav ist,
> wenn die 2.Ableitung
> > 0 ist, dann ist f(x) strikt konvex.
Vielleicht gibt es auch derartige Argumente, kenne sie aber nicht und habe auch nicht recherchiert.
> Und wie prüft man folgende Teilmenge von [mm]R^{2}[/mm] auf
> Konvexität bzw.
> Konkavität?
>
> [mm]\{(x,y) I \wurzel{x}+\wurzel{y}\ge2 \}[/mm]
>
> Gibt da so viele Bspe zum Rechnen, brauche bestimmt nur
> eins vorge-
> rechnet, dann weiß ich es, wie es geht : ) !!
[mm] $M:=\{(x,y) | \wurzel{x}+\wurzel{y}\ge2 \}$
[/mm]
Aber einen Ansatz bekommst du doch mit dieser Definition hin, oder?
Nehme dir zwei Punkte aus der Menge her, sagen wir wieder [mm] $x=(x_1,x_2)$ [/mm] und [mm] $y=(y_1,y_2)$.
[/mm]
Nun mußt du zeigen, dass auch die Punkte [mm] $\lambda*x+(1-\lambda)*y\in [/mm] M$ für [mm] $0\le\lambda\le1$.
[/mm]
Um dir die Scheu vor dem mehrdimensionalen zu nehmen, hier das zu Zeigende in Komponentendarstellung:
[mm] $\lambda*\vektor{x_1\\x_2}+(1-\lambda)*\vektor{y_1\\y_2}$
[/mm]
[mm] $=\vektor{\lambda*x_1\\\lambda*x_2}+\vektor{(1-\lambda)*y_1\\(1-\lambda)*y_2}$
[/mm]
[mm] $=\vektor{\lambda*x_1+(1-\lambda)*y_1\\\lambda*x_2+(1-\lambda)*y_2}$
[/mm]
Kommst du nun alleine weiter? Falls nicht, wir sind 24/7 für dich da!
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:44 Mo 04.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Marc,
danke für deine ausführliche Antwort!
Mit dem Verfahren, das Julius gezeigt hat, habe ich ja problemlos die strikte Konvexität der Funktion
f(x,y) = [mm] x^{2} [/mm] +xy [mm] +y^{2} [/mm] + x + y
gezeigt. Ich habe heute dann deinen Ansatz weiterverfolgt - bis dahin
auch alles verstanden - dann also alles vereinfacht, aber an der Stelle
[mm] 2x_{1}y_{1}+2x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{1}+2x_{2}y_{2} [/mm] < [mm] x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+x_{2}^{2} [/mm]
klemmt´s etwas...
Ich weiß, daß ich den Teil vor dem Kleinerzeichen noch in Faktoren zerlegen kann a la [mm] 2(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2}), [/mm] oder daß ich mittels
binomischer Formeln wieder Quadrate bilden kann - die ja immer größer 0 sind - aber bleiben dann nicht immer 2 Summanden links stehen?
Wie zeigt man, daß diese kleiner sind, also z.B.:
[mm] 2x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{1} [/mm] < [mm] (x_{1}-y_{1})^{2}+(x_{2}-y_{2})^{2} [/mm] ?
Vielleicht kannst du mir ja weiterhelfen : ) ... Ist denn bis dahin alles in Ordnung??
Bei der zweiten Aufgabe versage ich leider total, obwohl du schon so weit Hilfestellung gegeben hast : ( ... Wie packe ich die Wurzel da rein?
Ist doch schon alles ein bischen lange her...
Also, merci - Essener : ) - und bis dann!
eini
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Mo 04.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Eini,
> danke für deine ausführliche Antwort!
> Mit dem Verfahren, das Julius gezeigt hat, habe ich ja
> problemlos die strikte Konvexität der Funktion
> f(x,y) = [mm]x^{2}[/mm] +xy [mm]+y^{2}[/mm] + x + y
> gezeigt. Ich habe heute dann deinen Ansatz weiterverfolgt -
> bis dahin
> auch alles verstanden - dann also alles vereinfacht, aber
> an der Stelle
>
> [mm]2x_{1}y_{1}+2x_{1}y_{2}+2x_{2}y_{1}+2x_{2}y_{2}[/mm] <
> [mm]x_{1}^{2}+y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+x_{2}^{2}[/mm]
An diese Stelle bin ich gar nicht gelangt...
Zunächst ist aber klar, dass dieses Verfahren das klar umständlichere ist zu julius' Methode mit der Hesse-matrix, dass die folgende Rechnung also nur eine Rechenübung ist.
Ich gelange zunächst von
[mm] $\left(\bruch{x_1+y_1}{2}\right)^{2}+ \left(\bruch{x_1+y_1}{2}\right)\left(\bruch{x_2+y_2}{2}\right) +\left(\bruch{x_2+y_2}{2}\right)^{2} [/mm] + [mm] \left(\bruch{x_1+y_1}{2}\right) +\left(\bruch{x_2+y_2}{2}\right) [/mm] < [mm] \bruch{x_1^{2}+ x_1x_2 +x_2^{2} + x_1 + x_2 + y_1^{2}+ y_1y_2 +y_2^{2} + y_1 + y_2}{2}$
[/mm]
über
[mm] $\gdw$ $-x_1x_2-y_1y_2+x_1y_2+y_1x_2<(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2$
[/mm]
zu
[mm] $\gdw$ $-(x_1-y_1)(x_2-y_2)<(x_1-y_1)^2+(x_2-y_2)^2$ [/mm] | [mm] $+2(x_1-y_1)(x_2-y_2)$
[/mm]
[mm] $\gdw$ $(x_1-y_1)(x_2-y_2)<(x_1-y_1)^2+2(x_1-y_1)(x_2-y_2)+(x_2-y_2)^2$
[/mm]
Nun setze ich [mm] $a:=x_1-y_1$ [/mm] und [mm] $b:=x_2-y_2$ [/mm] und erhalte
[mm] $\gdw$ $ab<(a+b)^2$ [/mm] (*)
Jetzt bemühe ich die Ungleichung zwischem arithmetischem und geometrischem Mittel [mm] $\wurzel[n]{a_1\mdots a_n}\le \bruch{a_1+\ldots+a_n}{n}$; [/mm] für n=2 ergibt sich: [mm] $\wurzel{ab}\le \bruch{a+b}{2}\ \gdw\ 4ab\le (a+b)^2$
[/mm]
1. Fall: $ab<0$
Dann ist (*) klar, denn die rechte Seite der Ungleichung ist positiv
2. Fall: [mm] $ab\ge0$
[/mm]
Dann gilt: [mm] $1\le [/mm] 4$ [mm] $\gdw$ $ab\le 4ab\le (a+b)^2$
[/mm]
Damit haben wir also die Konvexität von f gezeigt. Wegen [mm] $\le$ [/mm] aber auch wirklich nur die Konvexität, nicht die strenge Konvexität (wie ich eigentlich ja angesetzt hatte).
Die Gleichung ist aber nur für a=b=0, also [mm] $x_1=y_1$ [/mm] und [mm] $x_2=y_2$, [/mm] erfüllt, das zu beweisen mir in einem Einzeiler nicht gelungen ist. Wenn du magst, kann ich dazu ja noch weiter ausholen.
> Bei der zweiten Aufgabe versage ich leider total, obwohl du
> schon so weit Hilfestellung gegeben hast : ( ... Wie packe
> ich die Wurzel da rein?
>
> Ist doch schon alles ein bischen lange her...
Okay, dann verrate ich mal die nächste Ungleichung:
Du muß ja zeigen, dass aus [mm] $(x_1,x_2),(y_1,y_2)\in [/mm] M$ folgt, dass [mm] $\lambda*(x_1,x_2)+(1-\lambda)(y_1,y_2)\in [/mm] M$.
Das [mm] "$\in [/mm] M$" läßt sich jeweils in Ungleichungen übersetzen:
Du mußt zeigen, dass aus [mm] $\wurzel{x_1}+\wurzel{x_2}\ge [/mm] 2$ und [mm] $\wurzel{y_1}+\wurzel{y_2}\ge [/mm] 2$ folgt, dass [mm] $\wurzel{\lambda*x_1+(1-\lambda)y_1}+\wurzel{\lambda*x_2+(1-\lambda)y_2}\ge2$
[/mm]
Kommst du damit weiter?
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 04:45 Di 05.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Marc,
du glaubst nicht, wie lange ich heute - im Zug in aller Ruhe - auf deine Vorlage geschaut hatte und versuchte weiterzukommen, vergebens :-( ..
Tja...
Weiß gar nicht, ob es so viel Sinn macht, mit tiefergehender Mathematik zu befassen - wie ich es ja momentan zu tun versuche - wenn noch nicht einmal sowas klappt, oder kannst du da ein paar aufbauende Worte zu sagen? Aber bitte nur ehrlich gemeinte ...
Wäre lieb, wenn du mir diese Aufgabe vielleicht mal bis zum Schluß vorrechnen könntest, ich habe ja so viele Beispielaufgaben dieser Art, üben kann ich dann genug!
Gibt es also bei diesen Mengen keinen anderen Weg die Konvexität bzw. Konkavität zu zeigen - wie Julius ja sagte - als diesen?
Warum muß man eigentlich Koordinaten der Punkte einführen, um weiterzukommen - das sind doch welche?? ( oh Gott ... ), aber müßte.. - geht das nicht auch ohne?
Gute Nacht zu tiefschlafender Zeit!
Vielen Dank, bis bald!
eini
Würde mich auch sehr freuen, wenn du zur ersten Aufgabe weitere Ausführungen machst, wie du angeboten hast, wenn´s deine Zeit erlaubt..
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:30 Di 05.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo eini,
> du glaubst nicht, wie lange ich heute - im Zug in aller
> Ruhe - auf deine Vorlage geschaut hatte und versuchte
> weiterzukommen, vergebens :-( ..
> Tja...
>
> Weiß gar nicht, ob es so viel Sinn macht, mit
> tiefergehender Mathematik zu befassen - wie ich es ja
> momentan zu tun versuche - wenn noch nicht einmal sowas
> klappt, oder kannst du da ein paar aufbauende Worte zu
> sagen? Aber bitte nur ehrlich gemeinte ...
Das sind doch nur eine Konzentrations- und Fleißübung.
> Wäre lieb, wenn du mir diese Aufgabe vielleicht mal bis zum
> Schluß vorrechnen könntest, ich habe ja so viele
> Beispielaufgaben dieser Art, üben kann ich dann genug!
Das hatte ich doch schon ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ? Aber du meinst die Aufgabe mit den Mengen, oder?
> Gibt es also bei diesen Mengen keinen anderen Weg die
> Konvexität bzw. Konkavität zu zeigen - wie Julius ja sagte
> - als diesen?
>
> Warum muß man eigentlich Koordinaten der Punkte einführen,
> um weiterzukommen - das sind doch welche?? ( oh Gott ... ),
> aber müßte.. - geht das nicht auch ohne?
Aber die Menge, deren Konvexität zu zeigen ist, stellt doch gerade Bedinungen an die Koordinaten der in ihr enthaltenen Punkte.
In ihr liegen alle Punkte, deren Summe der Wurzeln der Koordinaten größer/gleich 2 ist.
Nun muss ich gestehen, dass ich die Aufgabe leichter eingeschätzt hatte und dachte, ich könnte sie jetzt innerhalb 15 min lösen -- das stellt sich gerade als irrtum heraus, ich komme nicht auf die Abschätzung habe jetzt keine Zeit mehr. Ich setze mich heute Nacht nochmal dran oder morgen früh.
> Würde mich auch sehr freuen, wenn du zur ersten Aufgabe
> weitere Ausführungen machst, wie du angeboten hast, wenn´s
> deine Zeit erlaubt..
Was war denn da noch unklar?
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:23 Di 05.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Marc,
danke, ja richtig, ich meinte die Wurzel-Aufgabe ..
und danke für die "aufmunternden Worte", konzentrieren kann ich mich nämlich immer noch ganz gut und fleißig bin ich eh...
Ich bin gespannt, wie das funktioniert, es muß aber schneller ( einfacher?) gehen, Marc,
diese Aufgabe ist wirklich eine von über 20 Aufgaben einer nicht ganz alten WiWi-Mathe-Klausur ( Gesamtbearbeitungszeit der Klausur ist 2 Std. ) .
Weiß aber nicht, welches Verfahren angewandt wurde...
( Also im Original lautete die Aufgabe : "Welche der folgenden Teilmengen von [mm] R^{2} [/mm] ist konvex? Dann gab es als Antwortmöglichkeiten die Teilmenge, die du ja schon halb bearbeitet hast, die anderen beiden hatten eben statt des "Größer-Gleich-Zeichens" ein Gleich- bzw. ein
"Kleiner-Gleich-Zeichen" , wovon halt die von mir vorgestellte die Lösung ist...) Ich denke mal, das war jetzt unnötig, gell ...
Also, bei der anderen Aufgabe war alles klar, dachte nur, du wolltest noch was schreiben, aber galt wohl nur für den Fall, wenn mir was unklar geblieben sein sollte...
Vielen Dank, hoffe, bleibst nicht der Aufgabe wegen länger auf, freue mich auf deine Lösung!
Viele Grüße zurück!
eini
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:37 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo eini,
> danke, ja richtig, ich meinte die Wurzel-Aufgabe ..
> und danke für die "aufmunternden Worte", konzentrieren
> kann ich mich nämlich immer noch ganz gut und fleißig bin
> ich eh...
>
> Ich bin gespannt, wie das funktioniert, es muß aber
> schneller ( einfacher?) gehen, Marc,
> diese Aufgabe ist wirklich eine von über 20 Aufgaben einer
> nicht ganz alten WiWi-Mathe-Klausur (
> Gesamtbearbeitungszeit der Klausur ist 2 Std. ) .
> Weiß aber nicht, welches Verfahren angewandt wurde...
>
> ( Also im Original lautete die Aufgabe : "Welche der
> folgenden Teilmengen von [mm]R^{2}[/mm] ist konvex? Dann gab es als
> Antwortmöglichkeiten die Teilmenge, die du ja schon halb
> bearbeitet hast, die anderen beiden hatten eben statt des
> "Größer-Gleich-Zeichens" ein Gleich- bzw. ein
> "Kleiner-Gleich-Zeichen" , wovon halt die von mir
> vorgestellte die Lösung ist...) Ich denke mal, das war
> jetzt unnötig, gell ...
Nun, da steht ja nichts von einer Begründung, war vielleicht nur die richtige Antwort ausreichend?
Für die anderen beiden Mengen hätte man sich ja auf die Schnelle ein Gegenbeispiel überlegen können, und übrig bleibt die richtige Antwort.
Mit meinem ursprünglichen Ansatz ist es mir schändlicherweise nicht gelungen, die Konvexität zu zeigen. Vielleicht hat julius ja eine Abschätzungsidee?
Aber es müßte mit einem anderen Ansatz funktionieren, du hattest so eine Idee glaube ich auch schon mal geäußert -- ich entschuldige mich dafür, dass ich damals nicht darauf eingegangen bin.
Und zwar hattest du ja die Idee, die Menge als Funktion zu betrachten; das funktioniert, indem man die Randfunktion der Menge untersucht: Wenn diese konvex ist, dann ist die Menge der Punkte oberhalb des Graphen konvex (ich meine mich zu erinnern, dass es unterschiedliche Definitionen von konvexen Funktionen gibt, die gerade auf einer Vertauschung von konvex und konkav beruhen, aber wikipedia definiert es so wie von mir beschrieben).
Die Konvexität einer Funktion [mm] $\IR\to\IR$ [/mm] ist aber einfach mit der zweiten Ableitung gezeigt (siehe wikipedia).
Die Randfunktion lautet für M [mm] $y=\left(2-\wurzel{x}\right)^2$.
[/mm]
Davon bildest du die zweite Ableitung und zeigst, dass sie für [mm] $x\ge0$ [/mm] nicht-negativ ist. Das scheint mir die in der Klausur vorgesehene Vorgehensweise gewesen zu sein
> Also, bei der anderen Aufgabe war alles klar, dachte nur,
> du wolltest noch was schreiben, aber galt wohl nur für den
> Fall, wenn mir was unklar geblieben sein sollte...
Natürlich, wir werden alle erst aktiv, wenn jemandem etwas unklar ist
> Vielen Dank, hoffe, bleibst nicht der Aufgabe wegen länger
> auf,
Das wäre ja noch schöner, wenn ich mir wegen dieses MatheRaum die Nächste um die Ohren schlagen würde 
> freue mich auf deine Lösung!
Ich hoffe, dass wir sie jetzt gefunden haben bzw. du sie jetzt alleine finden kannst. Melde dich bitte wieder, wenn es geklappt hat oder ich dir wieder einen Ansatz zumute, den ich selbst nicht fortsetzen kann...
Viele Grüße,
Marc
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:03 Mi 06.10.2004 | | Autor: | eini |
Hallo Marc!
Danke für deine schnelle Antwort!
Hey, das war richtig witzig !! You know, what I mean...
Also, bevor ich gleich ins Bett wandere, die Ableitungen wollte ich noch schnell präsentieren, eine Übung, die ich immer wieder gerne mache, wenn ´se falsch sind, bitte melden ...
Also:
y' = [mm] \bruch{-2}{\wurzel{x}} [/mm] + 1
y'' = [mm] \bruch{1}{\wurzel{x^{3}}} [/mm] und die ist ja größer 0 .
Aber - als letztes noch - warum ist dann diese Teilmenge konvex und nicht die mit dem Gleichheitszeichen oder die mit Kleiner-Gleich-Zeichen?
Soll heißen, lautet die Randfunktion bei den beiden anderen Teilmengen nicht genauso? Also, wie spielt da das Größer-Gleich-Zeichen hier in die Entscheidungsfindung, daß diese Teilmenge konvex ist ?
Ging bestimmt aus deiner Antwort irgendwie hervor, hab´s nur nicht "ergriffen"...
( Es gab i.ü. auch noch eine vierte Antwortmöglichkeit : "Keine von diesen 3 ". )
Aber das ist jetzt ganz klar, so muß der Lösungsweg für die Klausur sein, das andere war zu zeitaufwendig...
Danke, cooles Forum, jetzt aber wirklich - gute Nacht !
eini
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:41 Mi 06.10.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo eini!
> Hey, das war richtig witzig !! You know, what I
> mean...
You mean, my signature?
> Also, bevor ich gleich ins Bett wandere, die Ableitungen
> wollte ich noch schnell präsentieren, eine Übung, die ich
> immer wieder gerne mache, wenn ´se falsch sind, bitte
> melden ...
>
> Also:
> y' = [mm]\bruch{-2}{\wurzel{x}}[/mm] + 1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> y'' = [mm]\bruch{1}{\wurzel{x^{3}}}[/mm]
> und die ist ja größer 0
Ja, aber nur für $x>0$, also nicht für [mm] $x\ge0$.
[/mm]
> Aber - als letztes noch - warum ist dann diese Teilmenge
> konvex und nicht die mit dem Gleichheitszeichen oder die
> mit Kleiner-Gleich-Zeichen?
> Soll heißen, lautet die Randfunktion bei den beiden
> anderen Teilmengen nicht genauso? Also, wie spielt da das
> Größer-Gleich-Zeichen hier in die Entscheidungsfindung, daß
> diese Teilmenge konvex ist ?
Durch das Größer/gleich-Zeichen wird die Punktemenge oberhalb der Randfunktion beschrieben, denn die Punkte (x,z) mit [mm] $z\ge(2-\wurzel{x})^2$ [/mm] liegen ja oberhalb der Punkte (x,y) mit [mm] $y=(2-\wurzel{x})^2$.
[/mm]
Der wikipedia-Artikel bringt nun die Konvexität der Punktemenge oberhalb des Graphen mit der Definition der Konvexität der Funktion in Verbindung.
> Ging bestimmt aus deiner Antwort irgendwie hervor, hab´s
> nur nicht "ergriffen"...
> ( Es gab i.ü. auch noch eine vierte Antwortmöglichkeit :
> "Keine von diesen 3 ". )
Dann ist mein Ausschlussverfahren wirklich naiv gewesen
> Aber das ist jetzt ganz klar, so muß der Lösungsweg für die
> Klausur sein, das andere war zu zeitaufwendig...
>
> Danke, cooles Forum, jetzt aber wirklich - gute Nacht !
Jetzt schon?
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Marc
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Do 30.09.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber eini!
Man kann Folgendes zeigen, und damit lässt sich deine erste Aufgabe dann auch ganz leicht lösen:
Es sei $M [mm] \subset \IR^n$ [/mm] konvex und $f:M [mm] \to \IR$ [/mm] zweimal stetig differenzierbar. Ist dann die Hesse-Matrix
$(Hf)(x) = [mm] \begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2}(x) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}(x) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1}(x) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 ^2}(x) & \ldots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n}(x) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1}(x) & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2}(x) & \ldots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2}(x) \end{pmatrix}$
[/mm]
für alle $x [mm] \in [/mm] M$ positiv definit, so ist $f$ strikt konvex auf $M$.
Versuche es jetzt vielleicht damit mal.
Liebe Grüße
Julius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:12 Do 30.09.2004 | | Autor: | eini |
Hallo julius!
Danke für deine Antwort!
Habe in der Nacht dieses Verfahren bereits angewendet und festgestellt,
diese Funktion ist strikt konvex : ) !
Dazu hätte ich aber noch Fragen:
Ist strikt konvex = streng konvex?? Die Literatur "scheint" beide Begriffe zu verwenden, wobei die Mathematiker durchweg streng anstell von strikt verwenden, stimmt doch, oder?
Und zweitens: Kann man dieses wirklich einfache Verfahren mit der Hesse-Matrix auch bei der Aufgabe mit den Teilmengen auf [mm] R^{2} [/mm] verwenden , also die mit "Wurzel aus x + Wurzel aus y" ... Komme da nicht so auf einen grünen Zweig mit Hilfe dieses Verfahrens.
Hilfreich wäre für mich auch hierbei die Unterscheidung zwischen strikter ( strenger? ) Konvexität bzw. Konkavität und "normaler" ( also nicht strikter )
Konvexität bzw. Konkavität.
Marc, deinen Ansatz werde ich heute abend weiterbearbeiten, ich berichte euch dann : ) ....
Danke nochmal, großartig hier !!
eini
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:16 Fr 01.10.2004 | | Autor: | Julius |
Lieber eini!
> Habe in der Nacht dieses Verfahren bereits angewendet und
> festgestellt,
> diese Funktion ist strikt konvex : ) !
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Dazu hätte ich aber noch Fragen:
>
> Ist strikt konvex = streng konvex?? Die Literatur "scheint"
> beide Begriffe zu verwenden, wobei die Mathematiker
> durchweg streng anstell von strikt verwenden, stimmt doch,
> oder?
Sagen wir es so: Meiner Ansicht nach bedeuten beide Begriffe bei Funktionen das Gleiche. Mathematiker benutzen meistens den Begriff "streng konvex". Der Begriff "strikt konvex" wird bei Mathematikern eher für normierte Räume verwendet (dort dann aber recht konsequent). Aber man kann auch Funktionen "strikt konvex" nennen. Es ist leider häufig so, dass mathematische Begriffe nicht einheitlich verwendet werden. Man muss also immer schauen, was der jeweilige Autor meint. Ein guter Autor klärt zunächst alle strittigen Begriffe.
> Und zweitens: Kann man dieses wirklich einfache Verfahren
> mit der Hesse-Matrix auch bei der Aufgabe mit den
> Teilmengen auf [mm]R^{2}[/mm] verwenden , also die mit "Wurzel aus x
> + Wurzel aus y" ... Komme da nicht so auf einen grünen
> Zweig mit Hilfe dieses Verfahrens.
Nein, dies ist ja eine Menge und keine Funktion. Mache das bitte so, wie Marc es dir erklärt hat. Du musst unterscheiden zwischen der Konvexität von Funktionen und der von Mengen.
> Hilfreich wäre für mich auch hierbei die Unterscheidung
> zwischen strikter ( strenger? ) Konvexität bzw. Konkavität
> und "normaler" ( also nicht strikter )
> Konvexität bzw. Konkavität.
Eine Menge $M [mm] \subset \IR^n$ [/mm] heißt streng konvex, wenn für alle $x,y [mm] \in [/mm] M$ mit $x [mm] \ne [/mm] y$ und alle [mm] $\lambda \in [/mm] ]0,1[$ gilt: [mm] $\lambda [/mm] x + [mm] (1-\lambda [/mm] y) [mm] \in \dot{M}$,
[/mm]
wobei [mm] $\dot{M}$ [/mm] das Innere von $M$ bezeichnet (also: [mm] $\dot{M}=\bar{M} \setminus \partial [/mm] M$).
Liebe Grüße
Julius
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