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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:33 So 19.09.2004 | | Autor: | kaffee |
hallo zusammen,
ich bins wiedermal...
bin grad etwas verwirrt durch folgende aufgabe:
bestimme den konvergenzradius der reihe [mm]\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \bruch{(x-2)^n}{n^2} [/mm]
Im normalfall dh [mm]\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n[/mm] rechnet man ja [mm] \bruch{1}{\lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{a_n} [/mm]
man lässt also das [mm]x^n[/mm] weg bei der berechnung.
und nun meine frage darf ich hier analog [mm] (x-2)^n [/mm] weglassen und für den konvergenzradius [mm] \bruch{1}{\lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{(-1)^n \bruch{1}{n^2}}[/mm] mit rechnen?
danke & gruss, sarah
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Hallo!
Also, die Antwort ist: ja, Du darfst so rechnen. Eine Potenzreihe hat immer einen Entwicklungspunkt, also einen Punkt, um den sie entwickelt ist. Das ist ein Punkt, an dem sie auf jeden Fall konvergiert. Im "normalen" Fall $ [mm] \sum a_n x^n$ [/mm] ist dieser Punkt gleich 0 (und wenn man für $x$ 0 einsetzt, kommt einfach [mm] $a_0$ [/mm] raus).
Man kann die Theorie aber auf einen beliebigen Entwicklungspunkt $a$ und eine Potenzreihe der Form [mm] $\sum a_n [/mm] (x - [mm] a)^n$ [/mm] erweitern. Das verschiebt die ganze Geschichte nur vom Nullpunkt in den Punkt $a$, d.h. also im Punkt $a$ konvergiert es auf jeden Fall (gegen [mm] $a_0$ [/mm] wie oben) und der Konvergenzradius ist der Radius des Kreises mit Mittelpunkt $a$ - wenn also z.B. der Konvergenzradius gleich $r$ ist, dann bedeutet es, dass die Reihe für alle Punkte $x$ konvergiert mit $|x - a| < r$, also für alle Punkte, die in einem offenen Kreis um $a$ mit Radius $r$ liegen.
Und ebenso gilt für alle $x$ mit $|x - a| > r$, dass die Reihe divergiert. Und auf dem Rand ist wie üblich die große Ungewißheit.
Lange Rede kurzer Sinn: die Theorie funktioniert wie üblich, stell Dir die Ersetzung von $x$ durch $(x - 2)$ einfach als eine Verschiebung der Reihe um 2 vor.
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 So 19.09.2004 | | Autor: | kaffee |
danke lars, wieso bin ich auf die erklärung nicht selbst gekommen?
wie dem auch sei, jetzt kann ich mindestens ohne bedenken rechnen!!
grüsse, sarah
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> Im normalfall dh [mm]\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n[/mm] rechnet man ja
> [mm]\bruch{1}{\lim_{n \to \infty} \wurzel[n]{a_n}[/mm]
> man lässt also das [mm]x^n[/mm] weg bei der berechnung.
Das Weglassen, bzw. gleich 1 setzen, darf man doch aber nur, wenn es - wie hier - eine Potenzreihe ist, oder?
Gruß,
Christian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:23 Fr 07.01.2005 | | Autor: | moudi |
Man setzt nicht x=1, sondern man untersucht, für welche reellen (oder komplexen) Zahlen x die Reihe konvergiert. Dies hängt offenbar nur von den "Koeffizienten" [mm] a_n [/mm] ab. Deshalb dürfen für die Berechnung des Konvergenzradius nur die [mm] a_n [/mm] vorkommen.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:40 Fr 07.01.2005 | | Autor: | chris2000 |
> Man setzt nicht x=1,
Ja, das war quatsch, sorry.
> sondern man untersucht, für welche
> reellen (oder komplexen) Zahlen x die Reihe konvergiert.
> Dies hängt offenbar nur von den "Koeffizienten" [mm]a_n[/mm] ab.
> Deshalb dürfen für die Berechnung des Konvergenzradius nur
> die [mm]a_n[/mm] vorkommen.
Ok, habe inzwischen die Herleitung dieser Formel gefunden; muss ich mir nochmal genauer anschauen, ist damit dann aber hoffentlich klar.
Danke!
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