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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Fr 19.01.2018 | | Autor: | b.reis |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Konvergenz der folgenden Reihe unter Verwendung von Wurzelkriterium, Quotientenkriterium oder Leibnitzkriterium:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{(2n)!} [/mm] |
Hallo
Also wenn ich das Wurzelkriterium anwende dann komme ich auf die Funktion
[mm] \bruch{n!}{\wurzel{2n!}} =\bruch{n!}{2n!^{\bruch{1}{n}}}
[/mm]
Der [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} n!=\infty [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2n!^{\bruch{1}{n}}=0
[/mm]
Meine Frage ist, ab wann weiß ich, dass eines der Kriterien erfolgreich war, denn die Unendlichkeit im Zähler irritiert mich und die 0 im Nenner auch.
Meine Lösung ist, da [mm] \infty [/mm] >1 divergiert die Reihe.
Dann habe ich mir die Graphen angeschaut und festgestellt, dass die Fakultätsfunktion schneller wächst als die Quadratische, somit müsst die Reihe konvergieren laut dem Nullfolgenkriterium.
Danke Benni
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Hallo,
> Zeigen Sie die Konvergenz der folgenden Reihe unter
> Verwendung von Wurzelkriterium, Quotientenkriterium oder
> Leibnitzkriterium:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{(2n)!}[/mm]
> Hallo
>
> Also wenn ich das Wurzelkriterium anwende dann komme ich
> auf die Funktion
>
> [mm]\bruch{n!}{\wurzel{2n!}} =\bruch{n!}{2n!^{\bruch{1}{n}}}[/mm]
>
> Der [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n!=\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 2n!^{\bruch{1}{n}}=0[/mm]
>
>
> Meine Frage ist, ab wann weiß ich, dass eines der
> Kriterien erfolgreich war, denn die Unendlichkeit im
> Zähler irritiert mich und die 0 im Nenner auch.
>
> Meine Lösung ist, da [mm]\infty[/mm] >1 divergiert die Reihe.
>
> Dann habe ich mir die Graphen angeschaut und festgestellt,
> dass die Fakultätsfunktion schneller wächst als die
> Quadratische, somit müsst die Reihe konvergieren laut dem
> Nullfolgenkriterium.
das ist alles völlig falsch, denn beim Wurzelkriterium zieht man nicht die Quadratwurzel, sondern die n.te Wurzel. Siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia.
Davon unabhängig ist das Wurzelkriterium hier meiner Meinung nach ungeeignet. Auf jeden Fall gelingt der Nachweis der Konvergenz in diesem Fall sehr einfach mit dem Quotientenkriterium.
Gruß, Diophant
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> Zeigen Sie die Konvergenz der folgenden Reihe unter
> Verwendung von Wurzelkriterium, Quotientenkriterium oder
> Leibnitzkriterium:
Hallo,
das Leibnizkriterium können wir uns für diese Reihe schonmal aus dem Kopf schlagen - ich hoffe, Du weißt, weshalb.
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{(n!)^2}{(2n)!}[/mm]
> Hallo
>
> Also wenn ich das Wurzelkriterium anwende dann komme ich
> auf die Funktion
>
> [mm]\bruch{n!}{\wurzel{2n!}} =\bruch{n!}{2n!^{\bruch{1}{n}}}[/mm]
Diophant hat Dir schon gesagt, daß Du nicht das Wurzelkriterium verwendet hast.
Wenn Du es richtig verwendest, kommst Du damit zum Ziel.
Mit dem Quotientenkriterium geht es aber bequemer.
>
> Der [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} n!=\infty[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 2n!^{\bruch{1}{n}}=0[/mm]
>
>
> Meine Frage ist, ab wann weiß ich, dass eines der
> Kriterien erfolgreich war,
Wenn alles, was im entsprechenden Kriterium steht, zutrifft.
Um dies zu prüfen, mußt Du die Kriterien genau kennen/nachlesen/lernen.
> denn die Unendlichkeit im
> Zähler irritiert mich und die 0 im Nenner auch.
>
> Meine Lösung ist, da [mm]\infty[/mm] >1 divergiert die Reihe.
>
> Dann habe ich mir die Graphen angeschaut und festgestellt,
> dass die Fakultätsfunktion schneller wächst als die
> Quadratische, somit müsst die Reihe konvergieren laut dem
> Nullfolgenkriterium.
Ich fürchte, Du hast Dir das Nullfolgenkriterium falsch gemerkt:
Eine unendliche Reihe [mm] \summe a_n [/mm] kann nur konvergieren, wenn [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist.
Aber daraus, daß [mm] a_n [/mm] eine Nullfolge ist, folgt keinesfalls die Konvergenz der Reihe!
LG Angela
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