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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:47 Mo 14.02.2005 | | Autor: | beta83 |
hallo ihr hilfsbereiten mathematiker,
ich hänge wieder einmal an einer aufgabe die mir anfangs trivial erschien aber am schluss hats dann gehagt.
aufgabe ist es den konvergenzbereich der reihe zu bestimmen.
folgende reihe: [Dateianhang nicht öffentlich]
ich habe die aufgabe mit dem quotientenkriterium berechnet und komme am ende auf über umformungen auf: [Dateianhang nicht öffentlich] = 1/(n+1) * e* |x| = ?
wie verhält sich jetzt der grenzwert? da 1/(n+1) gegen null geht muss doch der grenzwert auch gegen null gehn oder? eienr meiner kumpels hat gemeint das der grenzwert gegen e gehen muss da |x| konstant bleibt und somit eine konvergente reihe für alle x [mm] \in \IR [/mm] erhalten da mit dem quotientenkriterium e<1 ist und somit konvergent. aber ich verstehe nicht warum |x| konstant bleibt und e der grenzwert der folge ist. könnt ihr mir da helfen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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also ich habe übers gleiche Kriterium auch
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}=\bruch{|x|}{n+1}*e
[/mm]
Das läuft eindeutig gegen 0. Es läuft hier ja schließlich nicht x gegen unendlich. Erst wenn auch x unendlich wäre könnte man sagen, dass die Reihe nach e konvergiert, da der BRuch gegen 1 laufen würde. Aber wenn x [mm] \in \IR [/mm] ist, dann gelten für x ja auch alle anderen Werte. Man könnte nun höchstens noch diesen Spezialfall [mm] x\to \infty [/mm] auszuschliessen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:37 Di 15.02.2005 | | Autor: | beta83 |
danke als erstes mal für dein nachrechnen.
wie meinst du das jetzt genau? jetzt einfach noch [mm] \limes_{x\rightarrow\infty} [/mm] untersuchen? mein kumpel hat gmeint x ist als konst. anzusehn. das kann aber nicht sein weil ja der grenzwert gegen 0 geht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:26 Di 15.02.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo nochmal,
okay, ich habe es mal nachgerechnet:
[m]\limsup_{n \to \infty}\left[\frac{(n+1)^{n+1}|x|^{n+1}}{((n+1)!)^2}*\frac{(n!)^2}{n^n*|x|^n}\right]
=\limsup_{n \to \infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n *|x|*\underbrace{\frac{n!}{(n+1)!}}_{=\frac{1}{n+1}}\right]=e*|x|*\underbrace{\limsup_{n \to \infty}\frac{1}{n+1}}_{=0}=e*|x|*0=0[/m]
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Di 15.02.2005 | | Autor: | beta83 |
was heißt für beliebiges aber festes |x|?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Di 15.02.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> was heißt für beliebiges aber festes |x|?
D.h. du oder dein Prof kannst ein x aussuchen, egal welches, das setzt man in den Grenzwert ein und dann ist er =0!. Der Ausdruck für beliebiges aber festes |x| beduetet nur, dass du nicht gleichzeitig mit n auch x änderst sondern an ein bestimmtest x denkst, was ja immer wenn auch riesig, endlich ist:
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Di 15.02.2005 | | Autor: | beta83 |
danke leduart das war der springende punkt den ich nicht verstanden hatte.
ein danke auch an marcel und scharzes schaaf.
gruß beta
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, ergibt sich mit [mm] $\left(\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{|x|}{n+1}\right)*e=0 [/mm] < 1$ für beliebiges, aber festes $x$, dass die Reihe für jedes $x$ konvergiert. Daher ist der Konvergenzradius der Reihe $+ [mm] \infty$. [/mm]
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Quotientenkriterium