konvergenz von reihen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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ich frage mich gerade wie ich auf den grenzwert einer reihe komme ?
z.b.
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{5}{n^2}
[/mm]
zuerst pruefe ich ob die folge eine nullfolge ist, das sieht man denke ich, wie gehe ich nun vor um den *endlichen* grenzwert zu bestimmen ?!?!?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:17 Fr 11.03.2005 | | Autor: | TomJ |
Wurde aus dem Sys. geschmissen, also jetzt so:
Hallo ehrlichbemuehter,
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{5}{n^2}=5n [/mm] * [mm] \bruch{1}{n^2}
[/mm]
Sicher meintest du
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{5}{i^2}=5 [/mm] * [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2}
[/mm]
Einen geschlossenen Ausdruck kann ich dir nicht sagen.
Für n=200.000.000 erhält man als Summe [mm] \approx [/mm] 5*1,64493406
Die Summe ist auf jeden Fall konvergent (Integralkriterium!)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Fr 11.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich gehe auch mal davon aus, dass du [m] \sum_{i=1}^n \frac{5}{i^2} [/m] meinst. man kann zeigen, dass
[m] \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2} = \frac{\pi^2}{6} [/m],
womit man dann den wert der reihe, die dich interessiert berechnen kann.
grüße
andreas
ps nur weil die folge die aufsummiert wird eine nullfolge ist, konvergiert die reihe noch nicht zwangsläufig: betrachte [m] \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i} [/m] - diese reihe ist divergent, obwohl die aufsummierte folge offensichtlich eine nulölfolge ist. nullfolge zu sein ist notwendig, aber nicht hinrechend, wie dieses beispiel zeigt.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Fr 11.03.2005 | | Autor: | TomJ |
> womit man dann den wert der reihe, die dich interessiert
> berechnen kann.
wie??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Fr 11.03.2005 | | Autor: | andreas |
hi
wie oben geschriebn gehe ich davon aus, dass der wert der reihe [m] \sum_{i=1}^\infty \frac{5}{i^2} [/m] berechnet werden soll. dann ist aber wegen linearität von reihen und dem oben angegebenen reihenwert:
[m] \sum_{i=1}^\infty \frac{5}{i^2} = 5 \sum_{i=1}^\infty \frac{1}{i^2} = 5 \frac{\pi^2}{6} = \frac{5}{6} \pi^2 [/m].
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Fr 11.03.2005 | | Autor: | TomJ |
Ich hatte an die n-te Partialsumme
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{i^2}
[/mm]
gedacht.
Die Summe der Reihe habe ich inzwischen auch in einem Buch gefunden und sie wird ja auch von der Approximation bestätigt. Trotzdem Danke *g*
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[m]\sum_{i=1}^n \frac{5}{i^2}[/m]
ich hatte eigentlich gehofft eine anwendung des quotientenkriterums zu erhalten,
meineserachtens kann ich doch machen :
[m]
\left|\bruch{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left|\frac{5}{(n+1)^2 }* \frac{n^2}{5}\right| = \left|\frac{5n^2}{5(n+1)^2 }\right|
[/m]
aber ich sehe gerade das das quotienten kriterium hier versagt ... ;( da der grenzwert der obigen folge = 1 ist ... ;( schade, aber dann halt kurz ne frage zum quotientenkriterium, es ist doch richtig das der grenzwert der quotientenfolge gleich dem grenwert der reihe ist oder ?
öio
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(Antwort) fertig | | Datum: | 05:31 Sa 12.03.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [m]\sum_{i=1}^n \frac{5}{i^2}[/m]
>
> ich hatte eigentlich gehofft eine anwendung des
> quotientenkriterums zu erhalten,
> meineserachtens kann ich doch machen :
> [m]
> \left|\bruch{a_{n+1}}{a_n} \right| = \left|\frac{5}{(n+1)^2 }* \frac{n^2}{5}\right| = \left|\frac{5n^2}{5(n+1)^2 }\right|
>
>
> [/m]
>
>
> aber ich sehe gerade das das quotienten kriterium hier
> versagt ... ;( da der grenzwert der obigen folge = 1 ist
> ... ;( schade, aber dann halt kurz ne frage zum
> quotientenkriterium, es ist doch richtig das der grenzwert
> der quotientenfolge gleich dem grenwert der reihe ist oder
ODER! Nein. probier es z. Bsp mit der geometrischen Reihe!
Ein Kriterium ist erfuellt oder nicht, es gibt kein Ergebnis.
Gruss leduart
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