konvergenz von integralen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:15 Mi 31.10.2007 | | Autor: | beta81 |
| Aufgabe | [mm] \integral_{0}^{1}{dx\bruch{1}{x^{\nu}}}=\limes_{a\rightarrow 0}\integral_{a}^{1}{dx\bruch{1}{x^{\nu}}}=\begin{cases} \left[ln|x|\right]_a^1, & \mbox{für } \nu=1\\ \left[\bruch{1}{-\nu+1}x^{-\nu+1}\right]_a^1, & \mbox{für } \nu\neq1 \end{cases}
[/mm]
[mm] \integral_{1}^{\infty}{dx\bruch{1}{x^{\nu}}}=\limes_{b\rightarrow \infty}\integral_{1}^{b}{dx\bruch{1}{x^{\nu}}}=\begin{cases} \left[ln|x|\right]_1^b, & \mbox{für } \nu=1\\ \left[\bruch{1}{-\nu+1}x^{-\nu+1}\right]_1^b, & \mbox{für } \nu\neq1 \end{cases} [/mm] |
hallo community,
für welche werte von [mm] \nu [/mm] konvergieren die 2 integrale, wobei [mm] \nu [/mm] eine reele zahl ist?
danke!
gruss beta
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Mi 31.10.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo beta81!
Zumindest eine der beiden Aufgaben wurde vor kurzem hier behandelt.
Für die andere Aufgabe musst Du ebenfalls eine entsprechende Fallunterscheidung für [mm] $\nu$ [/mm] machen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 Do 01.11.2007 | | Autor: | beta81 |
hallo loddar,
>
> Zumindest eine der beiden Aufgaben wurde vor kurzem
> hier behandelt.
>
also gilt für das erste integral: [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{1}{x^\nu} dx}=\begin{cases} \mbox{konvergiert}, & \mbox{für } \nu<1 \\ \mbox{divergiert}, & \mbox{für } \nu \ge 1 \end{cases}
[/mm]
> Für die andere Aufgabe musst Du ebenfalls eine
> entsprechende Fallunterscheidung für [mm]\nu[/mm] machen.
fall 1: [mm] \nu [/mm] > 1
[mm] \integral_{1}^{b}{\bruch{1}{x^\nu} dx}=\bruch{1}{-\nu+1}\left[x^{-\nu+1}\right]_1^b=\bruch{1}{-\nu+1}\left[\bruch{1}{x^{\nu-1}}\right]_1^b=\bruch{1}{-\nu+1}\left[\bruch{1}{b^{\nu-1}}-\bruch{1}{1^{\nu-1}}\right]=\bruch{1}{-\nu+1}\left[\bruch{1}{b^{\nu-1}}-1\right]
[/mm]
also konvergiert es!
fall 2: [mm] \nu [/mm] =1
[mm] \integral_{1}^{b}{\bruch{1}{x^\nu} dx}=ln|b|, [/mm] folgt [mm] \limes_{b\rightarrow\infty}ln|b|=\infty
[/mm]
also divergiert es!
fall 3: [mm] \nu [/mm] < 1
[mm] \integral_{1}^{b}{\bruch{1}{x^\nu} dx}=\bruch{1}{-\nu+1}\left[x^{-\nu+1}\right]_1^b=\bruch{1}{-\nu+1}\left(b^{-\nu+1}-1^{-\nu+1}\right)
[/mm]
also divergiert es!
fazit:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^\nu} dx}=\begin{cases} \mbox{konvergiert}, & \mbox{für } \nu>1 \\ \mbox{divergiert}, & \mbox{für } \nu \le 1 \end{cases}
[/mm]
nun untersuche ich mit hilfe der obigen resultate das integral: [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^3-1}{\sqrt{1+x^8}} dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3-1}{\sqrt{1+x^8}} dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{x^3-1}{\sqrt{1+x^8}} dx}
[/mm]
der erste teil konvergiert! was passiert mit dem zweiten teil? ich vermute, dass es divergiert, aber wie zeigt man das?
ich wäre dankbar für ne antwort!
gruss [mm] \beta\mbox{81}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:42 Fr 02.11.2007 | | Autor: | beta81 |
ich habs gezeigt. der zweite teil divergiert. man kann es naemlich auch umschreiben in:
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{x^3}{\sqrt{1+x^8}} dx}-\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{\sqrt{1+x^8}} dx}
[/mm]
fuer grosse x kann man die 1 vernachlaessigen und man erhaelt
[mm] \integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x} dx}-\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^4} dx},
[/mm]
wobei das erste integral konvergiert und das zweite divergiert.
fazit: das integral divergiert insgesamt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:16 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
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> fall 1: [mm]\nu[/mm] > 1
>
> [mm]\integral_{1}^{b}{\bruch{1}{x^\nu} dx}=\bruch{1}{-\nu+1}\left[x^{-\nu+1}\right]_1^b=\bruch{1}{-\nu+1}\left[\bruch{1}{x^{\nu-1}}\right]_1^b=\bruch{1}{-\nu+1}\left[\bruch{1}{b^{\nu-1}}-\bruch{1}{1^{\nu-1}}\right]=\bruch{1}{-\nu+1}\left[\bruch{1}{b^{\nu-1}}-1\right][/mm]
>
> also konvergiert es!
>
> fall 2: [mm]\nu[/mm] =1
>
> [mm]\integral_{1}^{b}{\bruch{1}{x^\nu} dx}=ln|b|,[/mm] folgt
> [mm]\limes_{b\rightarrow\infty}ln|b|=\infty[/mm]
> also divergiert es!
>
> fall 3: [mm]\nu[/mm] < 1
>
> [mm]\integral_{1}^{b}{\bruch{1}{x^\nu} dx}=\bruch{1}{-\nu+1}\left[x^{-\nu+1}\right]_1^b=\bruch{1}{-\nu+1}\left(b^{-\nu+1}-1^{-\nu+1}\right)[/mm]
>
> also divergiert es!
>
> fazit:
>
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{\bruch{1}{x^\nu} dx}=\begin{cases} \mbox{konvergiert}, & \mbox{für } \nu>1 \\ \mbox{divergiert}, & \mbox{für } \nu \le 1 \end{cases}[/mm]
>
> nun untersuche ich mit hilfe der obigen resultate das
> integral:
> [mm]\integral_{0}^{\infty}{\bruch{x^3-1}{\sqrt{1+x^8}} dx}=\integral_{0}^{1}{\bruch{x^3-1}{\sqrt{1+x^8}} dx}+\integral_{1}^{\infty}{\bruch{x^3-1}{\sqrt{1+x^8}} dx}[/mm]
>
> der erste teil konvergiert! was passiert mit dem zweiten
> teil? ich vermute, dass es divergiert, aber wie zeigt man
> das?
Wieso konvergiert der erste Teil? ist aber richtig!
in deiner Mitteilung dvergiert das erste, nicht das zweite Integral, und die Begründung dass die 1 keine Rolle spielt muss auch genauer !
Gruss leduart
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