konvergenz von folgen < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Mo 25.06.2007 | | Autor: | batjka |
| Aufgabe | 1)))Sei (an)n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge in [mm] \IR, [/mm] die gegen a>0 konvergiert, q [mm] \in \IQ. [/mm] Zu zeigen:
a) die Folge [mm] \wurzel[/mm] [m]{an} n [mm] \in \IN [/mm] konvergiert gegen [mm] \wurzel[/mm] [m]{a} für [mm] m\in\IN [/mm]
b) die Folge [mm] ((an)^q) [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] konvergiert gegen [mm] a^q
[/mm]
2)))Sei (an)n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge in [mm] \IR
[/mm]
a) zu zeigen: konvergiert [mm] \summe_{n=1}^{\infty}an [/mm] absolut, so konvergiert auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a²n [/mm] absolut
b) Gegenbeispiel angeben, dass die Umkehrung von a) falsch ist
c) Gegenbeispiel angeben, dass a) falsch ist, wenn man absolute Konvergenz durch Konvergenz ersetzt
d) Was ist größer? 1,0000000001^10000000001 oder 2? |
hallo,
könnt ihr mit bitte bei diesen Aufgaben helfen? Irgendwie kann ich mich mit der Konvergenz nicht anfreunden. (fast alle Aufg. mit der Konvergenz waren bisher falsch)
zu 2c) z.B. ∑1/(k*√k) ?? stimmt das?
zu 2d) 2 ist kleiner. Aber wie beweist man das ohne Taschenrechner?
ich habe das mit Wurzelziehen versucht, hat aber nicht geklappt.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> 1)))Sei [mm](a_n)_n \in \IN[/mm] eine Folge in [mm]\IR,[/mm] die gegen a>0
> konvergiert, [mm]q \in \IQ.[/mm] Zu zeigen:
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> a) die Folge [mm]\sqrt[m]{a_n}, n \in \IN[/mm] konvergiert gegen [mm]\sqrt[m]{a}[/mm] für [mm]m\in\IN[/mm]
> b) die Folge [mm]((a_n)^q)[/mm], [mm]n\in \IN[/mm] konvergiert gegen [mm]a^q[/mm]
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> 2)))Sei [mm](a_n), n \in \IN[/mm] eine Folge in [mm]\IR[/mm]
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> a) zu zeigen: konvergiert [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] absolut, so konvergiert auch [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a^2_n[/mm] absolut
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> b) Gegenbeispiel angeben, dass die Umkehrung von a) falsch ist
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> c) Gegenbeispiel angeben, dass a) falsch ist, wenn man absolute Konvergenz durch Konvergenz ersetzt
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> d) Was ist größer? 1,0000000001^10000000001 oder 2?
> hallo,
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> könnt ihr mit bitte bei diesen Aufgaben helfen? Irgendwie kann ich mich mit der Konvergenz nicht anfreunden. (fast alle Aufg. mit der Konvergenz waren bisher falsch)
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> zu 2c) z.B. ∑1/(k*√k) ?? stimmt das?
Nein, denn die Reihe der quadrierten Glieder ist dann [mm]\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k^3}[/mm] und die konvergiert (ohne Beweis).
Die Frage ist, von welchen Reihen Du weisst, dass sie divergieren. Ein beliebtes Beispiel ist die "harmonische Reihe" [mm]\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k}[/mm]. Dann würde man also auf den ersten Blick zum Beispiel [mm]a_k := \frac{1}{\sqrt{k}}[/mm] wählen wollen, damit [mm]a_k^2 = \frac{1}{k}[/mm] wird. Einziges Problem: [mm]\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k}}[/mm] konvergiert ebensowenig wie die harmonische Reihe. - Was tun? - Nun: beim Quadrieren von [mm]a_k[/mm] verschwindet das Vorzeichen. Daher können wir [mm]a_k := \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}[/mm] nehmen. Die Reihe der quadrierten Glieder ist dann die (bekannterweise) divergente harmonische Reihe.
Vielleicht willst Du noch fragen, weshalb denn die Reihe [mm]\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{\sqrt{k}}[/mm] konvergiert. Antwort: Alternierende Reihe (wie diese), bei denen die Vorzeichen der Reihenglieder alternieren und deren Beträge eine monoton fallende Nullfolge bilden, sind stets konvergent.
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> zu 2d) 2 ist kleiner. Aber wie beweist man das ohne Taschenrechner?
Tipp: Bernoullische Ungleichung
> ich habe das mit Wurzelziehen versucht, hat aber nicht geklappt.
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