konvergenz in wkeit < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mo 07.01.2008 | | Autor: | AriR |
hey leute,
irgendwie verstehe ich die konvergenz in wkeit nicht so genau :(
die def besagt ja :
für alle [mm] \varepsilon>0 [/mm] : [mm] \lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|>\varepsilon)=0
[/mm]
aber was geanu heißt das?
soll das heißen für alle [mm] \omega\in\Omega [/mm] gilt für [mm] n\to\infty X_n(\omega)=X(\omega)
[/mm]
anders kann ich es mir nicht erklären.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:10 Mo 07.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin AriR,
fuer gegebenes [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ist [mm] $A_n:=(|X_n-X|>\varepsilon)=\{\omega\mid\omega\in\Omega, |X_n(\omega)-X(\omega)|>\varepsilon\}$ [/mm]
ein Ereignis, also Element der [mm] $\sigma$-Algebra.
[/mm]
Kgz in Wsk besagt, dass [mm] $(P(A_n))$ [/mm] eine Nullfolge ist.
vg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:39 So 13.01.2008 | | Autor: | AriR |
kann man den unterschied auch so sehen:
in der analysis wird ja gefordert, dass die folge mit jedem schritt näher an den grenzwert kommt.. bei der konv.in wkeit aber nur, dass mit jedem schritt die zufallsvariable der folge immer weniger elemente hat, die ungleich der grenzwertzufallsvariable sind, wobei die werte, die nicht gleich sind beliebig sein dürfen.
kann man das in etwa so sehen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Mo 14.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Hallo,
Ich zitiere aus Maibaum: Wahrscheinlichkeitstheorie und mathematische
Statistik, Seite 139:
Die Beziehung ($ [mm] \lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|>\varepsilon)=0 [/mm] $) bedeutet, dass bei stochastischer
Konvergenz von [mm] $(X_n)$ [/mm] gegen X die
Abweichung von [mm] $X_n$ [/mm] und X um mindestens [mm] $\varepsilon$ [/mm] - also das
Ereignis [mm] $(|X_n-X|>\varepsilon)$ [/mm] - eine Wahrscheinlichkeit besitzt, die
mit [mm] $n\to\infty$ [/mm] gegen Null konvergiert; dabei ist [mm] $\varepsilon$ [/mm] eine
beliebige positive Zahl.
Vielleicht hilft dir das.
vh Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:25 Mo 14.01.2008 | | Autor: | AriR |
bedeutet dies nicht gerade, dass die anzahl der [mm] \omega\in\Omega [/mm] mit steigendem n immer kleiner wird für die gilt [mm] |X_n(w)-X(w)|>\varepsilon
[/mm]
wobei nicht zwingend gelten muss das für ein festes [mm] \omega\in\Omega$ [/mm] $ [mm] X_n(w) [/mm] für [mm] n\to\infty [/mm] auch im analytischen sinn gegen [mm] X(\omega) [/mm] konvergieren muss oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mo 14.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> bedeutet dies nicht gerade, dass die anzahl der
> [mm]\omega\in\Omega[/mm] mit steigendem n immer kleiner wird für die
> gilt [mm]|X_n(w)-X(w)|>\varepsilon[/mm]
Ich habe Schwierigkeiten mit dem Wort "Anzahl". Eine derartige Anzahl ist schwer zu
definieren, wenn die Mengen unendlich sind, z.B. wenn es sich um Intervalle handelt.
> wobei nicht zwingend gelten muss das für ein festes
> [mm]\omega\in\Omega[/mm][mm][/mm] [mm]X_n(w)[/mm] für [mm]n\to\infty[/mm] auch im analytischen
> sinn gegen [mm]X(\omega)[/mm] konvergieren muss oder?
Diese Frage verstehe ich nicht.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:10 Mo 14.01.2008 | | Autor: | AriR |
ich hab auch etwas probleme mich auszudrücken.
also bei der konv. in wkeit muss ja zb nicht gelten
[mm] \lim_{n\to\infty}X_n(w)=X(w) [/mm] für alle omega, auch wenn [mm] X_n [/mm] stoch. gegen X konvergiert oder.
mir scheint es so
das die menge [mm] \{w| |X_n(w)-X(w)|>\varepsilon\} [/mm] mit steigendem n immer kleiner werden soll, wobei es voll unwesentlich ist, was [mm] X_n(w) [/mm] ist für [mm] w\in \{w| |X_n(w)-X(w)|>\varepsilon\}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:15 Mo 14.01.2008 | | Autor: | luis52 |
>
> mir scheint es so
>
> das die menge [mm]\{w| |X_n(w)-X(w)|>\varepsilon\}[/mm] mit
> steigendem n immer kleiner werden soll,
Hier kann ich mich anschliessen.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:48 Mo 14.01.2008 | | Autor: | AriR |
wie würdest du denn mit deinen worten den unterschied zwischen der stoch.konvergenz und der analytischen konvergenz beschreiben?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:20 Mo 14.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> wie würdest du denn mit deinen worten den unterschied
> zwischen der stoch.konvergenz und der analytischen
> konvergenz beschreiben?
>
bei der stochastischen Konvergenz geht es darum zu beschreiben, dass die
die meisten Glieder der Folge von Zufallsvariablen [mm] $(X_n)$
[/mm]
Funktionswerte [mm] $X_n(\omega)$ [/mm] besitzen, die sich beliebig wenig von [mm] $X(\omega)$
[/mm]
unterscheiden, fuer die also gilt [mm] $|X_n(\omega)-X(\omega)|\le \varepsilon$, [/mm] wie klein auch immer [mm] $\varepsilon$. [/mm]
Die Menge, wo das nicht erfuellt ist, wird immer magerer,
indem [mm] $P(\{\omega\mid |X_n(\omega)-X(\omega)|> \varepsilon\})\to0$ [/mm] fuer [mm] $n\to \infty$.
[/mm]
Ich weiss nicht was du mit "analyticher Konvergenz" meinst. Der
Konvergenzbegriff kann ganz allgemein gefasst werden (z.B. in metrischen
Raeumen). Ich finde die Definition der stochastischen Konvergenz sehr
elegant: Die intuitive Vorstellung von der zunehmend mager werdenden
Menge, wo sich [mm] $X_n$ [/mm] von $X$ stark unterscheidet, wird auf den einfachen
Begriff der Nullfolge zurueckgefuehrt.
So, genug der Philosophie.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 14.01.2008 | | Autor: | AriR |
in der analysis sagt man ja eine funktionenfolge [mm] f_n [/mm] konvergiert gegen eine funktion f, wenn gilt:
[mm] \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) [/mm] für alle x aus dem def.bereich
ist diese def. äquivalent mit der stoch. konvergenz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mo 14.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> in der analysis sagt man ja eine funktionenfolge [mm]f_n[/mm]
> konvergiert gegen eine funktion f, wenn gilt:
>
> [mm]\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)[/mm] für alle x aus dem
> def.bereich
>
> ist diese def. äquivalent mit der stoch. konvergenz?
Nein.
Betrachte [mm] $\Omega=\{0,1\}$ [/mm] mit der Potenzmenge als Sigma-Algebra und die
Folge [mm] $X_n:\Omega\to\IR$ [/mm] mit [mm] $X_n(i)=i$ [/mm] und [mm] $P(X_n=1)=1/n$ [/mm] und [mm] $P(X_n=0)=1-1/n$. [/mm]
Dann konvergiert [mm] $(X_n)$ [/mm] in Wsk gegen Null ($X(0)=i=X(1)$),
jedoch gilt [mm] $\lim_{n\to \infty}X_n(1)=1$. [/mm]
vg Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:13 Mi 16.01.2008 | | Autor: | AriR |
ich glaub so langsam hab ich es.
vielen dank für die viele hilfe :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:57 Mi 16.01.2008 | | Autor: | AriR |
vllt noch eine frage..
kann man sagen, dass [mm] X_n [/mm] stoch. gegen X konvergiert wenn gilt:
1. [mm] \lim_{n\to\infty}X_n(w)=X(w) [/mm] für alle [mm] w\in\Omega
[/mm]
2. [mm] P[X=x]=\lim_{n\to\infty} P[X_n=x] [/mm] für alle [mm] x\in\IR
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:42 Mi 16.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> vllt noch eine frage..
>
> kann man sagen, dass [mm]X_n[/mm] stoch. gegen X konvergiert wenn
> gilt:
> 1. [mm]\lim_{n\to\infty}X_n(w)=X(w)[/mm] für alle [mm]w\in\Omega[/mm]
> 2. [mm]P[X=x]=\lim_{n\to\infty} P[X_n=x][/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm]
>
Zu 1. kann ich nichts sagen, vermute aber Nein.
2. Ganz bestimmt nicht. Nimm eine Folge stetig verteilter Zufallsvariablen [mm] $(X_n)$,
[/mm]
die nicht gegen ein standardnormalverteiltes X stochastisch konvergiert, obwohl
[mm] $P(X_n=x)=0=P(X=x)$ [/mm] für alle [mm]x\in\IR[/mm].
vg Luis
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:01 Mi 16.01.2008 | | Autor: | AriR |
und wenn man das x durch teilmengen in [mm] \IR [/mm] ersetzt... dann müsste das doch stimmen oder ? zumindest die hinrichtung
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Do 24.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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