konvergenz epsilon kriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:10 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Expo |
| Aufgabe | Zeigen Sie die Konvergenz folgender Folgen, indem Sie ohne Zuhilfenahme von Sätzen aus der Vorlesung das "epsilon-Kriterium der Folgenkonvergenz nachweisen:
a) [mm] 1+\bruch{3}{n^2}
[/mm]
[mm] b)(\wurzel{n-1})-(\wurzel{n}) [/mm] |
Guten Tag,
Die Aufgabe a habe ich bereits gelöst:
Ist dies ausreichend oder muss ich N0 für n einsetzen und zeigen das es
| [mm] 1+\bruch{3}{N0^2} [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon [/mm] ?
Hinweis: [mm] \parallel [/mm] steht für auf das nässt größere a€N aufrunden
| [mm] 1+\bruch{3}{n^2} [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{3}{n^2}<\varepsilon
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{\bruch{3}{\varepsilon}} [/mm] < n
und nun ?
Wähle N0 := [mm] \parallel \wurzel{\bruch{3}{\varepsilon}} \parallel [/mm] +1
Dann gilt für alle n> N0
n> [mm] \parallel \wurzel{\bruch{3}{\varepsilon}} \parallel [/mm] +1 > [mm] \parallel \wurzel{\bruch{3}{\varepsilon}} \parallel [/mm] > [mm] \wurzel{\bruch{3}{\varepsilon}} \gdw
[/mm]
| [mm] 1+\bruch{3}{n^2} [/mm] - 1| < [mm] \varepsilon
[/mm]
Zur b)
| [mm] (\wurzel{n-1})-(\wurzel{n})-0| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
[mm] \bruch{(\wurzel{n-1})-(\wurzel{n}) (\wurzel{n-1})+(\wurzel{n}))}{\wurzel{n-1})+(\wurzel{n}} [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
-1/ [mm] (\wurzel{n-1})+(\wurzel{n}) <\varepsilon
[/mm]
[mm] -1-(\wurzel{n} [/mm] < [mm] (\wurzel{n-1})\varepsilon
[/mm]
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Hiho,
a) ist ok
> Zur b)
>
> | [mm](\wurzel{n-1})-(\wurzel{n})-0|[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
>
> [mm]\bruch{(\wurzel{n-1})-(\wurzel{n}) (\wurzel{n-1})+(\wurzel{n}))}{\wurzel{n-1})+(\wurzel{n}}[/mm] < [mm]\varepsilon[/mm]
Betragsstriche nicht vergessen! Desweiteren Klammersetzung beachten.
> -1/ [mm](\wurzel{n-1})+(\wurzel{n}) <\varepsilon[/mm]
Betrag vergessen.
Nun kannst du so lange umformen, bis du dein "perfektes" [mm] N_0 [/mm] gefunden hast.
Da es aber nur darum geht, irgendein [mm] N_0 [/mm] zu finden, kannst du auch einfach "sehen", dass [mm] $N_0 [/mm] = [mm] \parallel\bruch{1}{\varepsilon^2}\parallel$ [/mm] das Gewünschte liefert und es dafür zeigen.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Mi 07.11.2012 | | Autor: | Expo |
Danke, also kann ich sagen:
[mm] |\wurzel{\bruch{1}{\varepsilon^2}-1}-\wurzel{\bruch{1}{\varepsilon^2}}-0|< \varepsilon
[/mm]
aber wie muss ich jetzt abschätzen ?
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Hiho,
du hast die Doppelbrüche unter den Tisch fallen lassen.
Nutze noch aus, dass für $a,b > 0$ gilt [mm] $\bruch{1}{a+b} \le \bruch{1}{a}$ [/mm] um den einen ungünstigen Wurzelterm wegfallen zu lassen.
Der Rest ist simples umformen und das solltest du selbst hinbekommen.
MFG,
Gono.
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