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konvergente Reihen: Korrektur

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	14:02 Mi 23.11.2005
Autor:	Franzie

danke für die tipps. wie kann ich denn erkennen, welches kriterium für reihen ich da anwenden muss? ist das reine gefühlssache?

hab hier nochmal zwei reihen und wollte wissen, ob ich das richtig berechnet habe:

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/((n+1)(n+2)^{2} [/mm] habs erst mit dem quotientenkriterium versucht, aber da kommt genau 1 raus und bringt mir daher wenig. also hab ich folgendes gemacht:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/((n+1)(n+2)^{2} [/mm] < [mm] n/(n+2)^{2} [/mm] < [mm] n/n^{2}=1/n [/mm] und somit konvergent.

[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/7^{n}* \vektor{3n \\ n} [/mm]
hab dann den binomialkoeffizienten auseinandergebastelt:
[mm] \vektor{3n \\ n}=(3n!)/(n!*(3n-n)!=(3n!)/(n!*2n!) [/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} 1/7^{n}* \vektor{3n \\ n}=\summe_{n=1}^{\infty} (3n!)/(7^{n}* [/mm] n!)
quotientenkriterium:
[mm] ((3(n+1)/(7^{n+1}* (n+1)!))*((7^{n}*n!)/(3n))=(3(n+1)*7^{n}*n!)/(7^{n}*7*(n+1)*n!*3n)=3/(7*3n)=1/(7n) [/mm] < 1, also ist die reihe konvergent

ist das so richtig?

liebe grüße

Bezug

konvergente Reihen: Leider nicht richtig!

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	19:12 Sa 26.11.2005
Autor:	Loddar

Hallo Franzie!

> danke für die tipps. wie kann ich denn erkennen, welches
> kriterium für reihen ich da anwenden muss? ist das reine
> gefühlssache?

Bei Potenzen [mm] $(...)^n$ [/mm] bietet sich grundsätzlich das Wurzelkriterium an, bei Aufgaben mit Binomialkoeffizienten in der Regel das Quotientenkriterium, und bei alternierenden Reihe halt dad Leibniz-Kriterium.

Ansonsten ist es wie oft im Leben ... reine Übungssache!

> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} 1/((n+1)(n+2)^{2}[/mm] < [mm]n/(n+2)^{2}[/mm] < [mm]n/n^{2}=1/n[/mm] und somit konvergent.

Das bringt Dich gar nicht weiter, da die harmonische Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}$ [/mm] divergiert !

Aber es geht sehr ähnlich:

[mm] $\bruch{1}{\red{(n+1)}*\blue{(n+2)^2}} [/mm] \ < \ [mm] \bruch{1}{\red{n}*\blue{n^2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n^3}$ [/mm]

Und diese Reihe [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n^3}$ [/mm] konvergiert, und damit auch unsere Reihe.

> quotientenkriterium:
> [mm]((3(n+1)/(7^{n+1}* (n+1)!))*((7^{n}*n!)/(3n))=(3(n+1)*7^{n}*n!)/(7^{n}*7*(n+1)*n!*3n)=3/(7*3n)=1/(7n)[/mm] < 1, also ist die reihe konvergent

Idee mit Quotientenkriterium ist sehr gut!