konvergente Potenzreihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:00 So 21.06.2009 | | Autor: | ramo707 |
| Aufgabe | Für welche [mm] x\in\IR [/mm] konvergieren die folgenden Potenzreihen? Berechnen Sie den Konergenzradius.
i) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x+2^{n}}{n^{4}+4n}
[/mm]
ii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n!^{2}x^n}{(2n)!}
[/mm]
iii) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}n!x^n
[/mm]
iv) [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{x^n}{a^n+b^n} [/mm] mit a, b>0 |
Hallo,
ich weiß nicht wie ich den Konvergenzradius berechnen soll. erstmal muss man [mm] z_{0} [/mm] berechnen, dann ro und dann sieht für welche x die Reihe konvergent ist.
i) [mm] z_{0}=-2. [/mm] habe versucht ro zu berechnen mit lim [mm] \bruch{a_n}{a_n+1}, [/mm] kommt aber was ganz komisches raus. es gibt ja noch ne formel mit lim sup, aber die bringt in diesem fall auch nicht weiter...
ii) [mm] z_{0}=0. [/mm] dann muss ich noch lim [mm] \bruch{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2} [/mm] berechnen?
iii) [mm] z_{0}=0. [/mm] dann ist ro=0 und die reihe konvergiert nicht?
iv) [mm] z_{0}=0. [/mm] dann muss ich noch lim [mm] \bruch{a^(n+1)+b^(n+1)}{a^n+b^n} [/mm] berechnen? aber wie berechnet man das wenn a und b beliebig sind?
Vielen Dank!
Lg,
Ramona
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:12 So 21.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich weiss nicht, was du mit [mm] z_0 [/mm] meinst.
im uebrigen kannst du Wurzel oder Quotienten benutzen, was habt ihr denn fuer den Konvergenzradius benutzt?
steht bei der ersten Reihe wirklich [mm] x+2^n [/mm] im Zaehler, dann teil die Summe auf, zieh aus der ersten x raus, und du hast 2 gewoehnliche Reihen.
bei 4 musst du angeben fuer welche a bzw b das konv.
du kannst etwa voraussetzen [mm] 0
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 So 21.06.2009 | | Autor: | ramo707 |
Hi,
erstmal danke für die antwort. für konvergenzradius haben wir 2 formeln:
i) [mm] \bruch{1}{lim sup\wurzel[n]{|a_{n}|}}
[/mm]
ii) lim [mm] \bruch{|a_{n}|}{|a_{(n+1)}|}
[/mm]
mit [mm] z_{0} [/mm] meine ich den mittelpunkt des kreises und die 2 formeln sind für den radius. kann mans auch anders machen?
bei 1i) hab ich mich verschrieben, es sollte [mm] (x+2)^n [/mm] stehen...
stimmt es, dass iii) nicht konvergiert?
vielen dank!
lg,
ramona
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Hallo Ramona,
> Hi,
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> erstmal danke für die antwort. für konvergenzradius haben
> wir 2 formeln:
> i) [mm]\bruch{1}{lim sup\wurzel[n]{|a_{n}|}}[/mm]
> ii) lim
> [mm]\bruch{|a_{n}|}{|a_{(n+1)}|}[/mm]
>
> mit [mm]z_{0}[/mm] meine ich den mittelpunkt des kreises
Du solltest lieber [mm] $x_0$ [/mm] schreiben für den Entwicklungspunkt ... schließlich steht da ja [mm] $(x+2)^n$ [/mm]
> und die 2
> formeln sind für den radius. kann mans auch anders machen?
Nicht das ich wüsste, die Formeln sind hier aber vollauf ausreichend
>
> bei 1i) hab ich mich verschrieben, es sollte [mm](x+2)^n[/mm]
> stehen...
Ja, die Quotientenformel ist doch gut, multipliziere aber nicht gleich alles wie wild aus, sondern klammere in Zähler und Nenner von [mm] $\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right|$ [/mm] mal direkt [mm] $n^4$ [/mm] aus ...
>
> stimmt es, dass iii) nicht konvergiert?
Nein, eine Potenzreihe ist immer konvergent, nämlich zumindest in ihrem Entwicklungspunkt, für [mm] $z=z_0$ [/mm] oder hier [mm] $x=x_0=0$
[/mm]
Was hast du denn mit den Formeln für [mm] $\rho$ [/mm] berechnet?
Schaue mal in dein Skript, da müsste was stehen, dass [mm] $\rho\in[0,\infty]$ [/mm] ist (soll heißen, dass auch [mm] $\infty$ [/mm] als Kgzradius zugelassen ist)
Bei (ii) tut's die Quotientenformel, bei der letzten nimm oBdA an, dass $0<a<b$, benutze die [mm] $\limsup$-Formel [/mm] und klammere unter der Wurzel mal [mm] $b^n$ [/mm] aus, bedenke, dass [mm] $\frac{a}{b}<1$ [/mm] ...
>
> vielen dank!
>
> lg,
> ramona
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:51 So 21.06.2009 | | Autor: | ramo707 |
Danke schön für die Hilfe, ich habe geschafft :D:D.
lg und gute Nacht,
Ramona
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