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Hallo Zusammen,
Ich soll folgende Aussage beweisen.
"Sei [mm]\left(a_n\right)[/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen mit Grenzwert [mm]a\![/mm]. Zeigen Sie:
Die Folge [mm]\left(A_n\right)[/mm] mit [mm]\textstyle A_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}[/mm] konvergiert ebenfalls gegen [mm]a\![/mm]."
Allerdings frage ich mich, wie die Aussage zu interpretieren ist. Hier findet man nämlich so eine Folge. Müßte dann nicht für beliebige [mm]i\in\mathbb{N}[/mm]: [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{i}{n}-\frac{i^2}{n^2}}=\frac{\pi}{8}[/mm] (und nicht 0) sein?
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Sa 03.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> "Sei [mm]\left(a_n\right)[/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen
> mit Grenzwert [mm]a\![/mm]. Zeigen Sie:
> Die Folge [mm]\left(A_n\right)[/mm] mit [mm]\textstyle A_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}[/mm]
> konvergiert ebenfalls gegen [mm]a\![/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
."
So hab ne Idee. Also da $a_n$ gegen a konvergiert, können wir ein beliebiges $\tilde{a}>a$ betrachten und es gilt für fast alle $n\in\IN: a_n<\tilde{a}$. Damit ist $$\left|\frac{1}{n}\cdot\left(\sum_{k=1}^na_k\right)-a\right|\le\left|\frac{n\cdot\tilde{a}}{n}-a\right|=\left|\tilde{a}-a}\right|$$
Da aber $\tilde{a}$ beliebig war, wird der Ausdruck $\left|\tilde{a}-a\right|$ kleiner als jedes $\varepsilon>0$ und damit für hinreichend große n auch $\left|\frac{1}{n}\cdot\left(\sum_{k=1}^na_k\right)-a\right|$. q.e.d.
> Allerdings frage ich mich, wie die Aussage zu
> interpretieren ist. Hier findet man nämlich
> so eine Folge. Müßte dann nicht für beliebige
> [mm]i\in\mathbb{N}[/mm]:
> [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{i}{n}-\frac{i^2}{n^2}}=\frac{\pi}{8}[/mm]
> (und nicht 0) sein?
Das wäre die Umkehrung deiner Aussage, und die gilt ja nicht unbedingt.
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Hallo pelzig,
Vielen Dank für die Hilfe! Nur eine Frage hätte ich noch wegen dieser Umkehrung der Aussage:
> [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{i}{n}-\frac{i^2}{n^2}}=\frac{\pi}{8}[/mm]
> > (und nicht 0) sein?
>
> Das wäre die Umkehrung deiner Aussage, und die gilt ja
> nicht unbedingt.
Ich kann die Aussage ja auch Punkt für Punkt durchgehen. Ich scheine hierbei nicht umgekehrt zu argumentieren:
[mm]\textstyle\left(a_n\right):=\left(\sqrt{\frac{i}{n}-\frac{i^2}{n^2}}\right)[/mm] ist eine Nullfolge, also konvergent. Dann müßte doch auch [mm]\left(A_n\right)[/mm] gegen 0 konvergieren? Andererseits stimmt aber auch dein Beweis, denke ich. Seltsam...
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Sa 03.05.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich kann die Aussage ja auch Punkt für Punkt durchgehen.
> Ich scheine hierbei nicht umgekehrt zu argumentieren:
Da hast du recht, ich war da wohl etwas schlampig
> [mm]\textstyle\left(a_n\right):=\left(\sqrt{\frac{i}{n}-\frac{i^2}{n^2}}\right)[/mm]
> ist eine Nullfolge, also konvergent. Dann müßte doch auch
> [mm]\left(A_n\right)[/mm] gegen 0 konvergieren? Andererseits stimmt
> aber auch dein Beweis, denke ich. Seltsam...
Es ist ein anderer Fehler: In dem Ausdruck [mm] $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}{\sqrt{\frac{i}{n}-\frac{i^2}{n^2}}}=:\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}a_i$ [/mm] sind die Summanden [mm] $a_i$ [/mm] noch abhängig von der oberen Grenze $n$ der Summation, deshalb kannst du das Lemma aus diesem Thread hier nicht anwenden.
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:30 Sa 03.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > "Sei [mm]\left(a_n\right)[/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen
> > mit Grenzwert [mm]a\![/mm]. Zeigen Sie:
> > Die Folge [mm]\left(A_n\right)[/mm] mit [mm]\textstyle A_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}[/mm]
> > konvergiert ebenfalls gegen [mm]a\![/mm]."
>
> So hab ne Idee. Also da [mm]$a_n$[/mm] gegen a konvergiert, können
> wir ein beliebiges [mm]$\tilde{a}>a$[/mm] betrachten und es gilt für
> fast alle [mm]$n\in\IN: a_n<\tilde{a}$.[/mm] Damit ist
> [mm]\left|\frac{1}{n}\cdot\left(\sum_{k=1}^na_k\right)-a\right|\le\left|\frac{n\cdot\tilde{a}}{n}-a\right|=\left|\tilde{a}-a}\right|[/mm]
Die [mm] a_n [/mm] für die diese Abschätzung nicht gilt könnten die Summe zu groß werden lassen.
Es gibt ein N [mm] \in \IN, [/mm] so dass für alle n [mm] \ge [/mm] N gilt: [mm] a_n [/mm] < a + [mm] \epsilon/2. [/mm] Es gibt ein n', so dass für alle n [mm] \ge [/mm] n' gilt: [mm] \bruch{1}{n}*\sum_{k=1}^{N}a_k [/mm] < [mm] \epsilon/2.
[/mm]
Also gilt für alle n > max{N,n'}: [mm]\left|\frac{1}{n}\cdot(\left(\sum_{k=1}^{N}a_k\right)+\left(\sum_{k=N+1}^n a_k\right))-a\right|\le\left|\epsilon/2+\bruch{(a+\epsilon/2)*(n-N-1)}{n}-a|[/mm]
> Da aber [mm]\tilde{a}[/mm] beliebig war, wird der Ausdruck
> [mm]\left|\tilde{a}-a\right|[/mm] kleiner als jedes [mm]\varepsilon>0[/mm]
> und damit für hinreichend große n auch
> [mm]\left|\frac{1}{n}\cdot\left(\sum_{k=1}^na_k\right)-a\right|[/mm].
> q.e.d.
>
> > Allerdings frage ich mich, wie die Aussage zu
> > interpretieren ist. Hier findet man nämlich
> > so eine Folge. Müßte dann nicht für beliebige
> > [mm]i\in\mathbb{N}[/mm]:
> >
> [mm]\textstyle\lim_{n\to\infty}\sqrt{\frac{i}{n}-\frac{i^2}{n^2}}=\frac{\pi}{8}[/mm]
> > (und nicht 0) sein?
>
> Das wäre die Umkehrung deiner Aussage, und die gilt ja
> nicht unbedingt.
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Hallo Zusammen,
> "Sei [mm]\left(a_n\right)[/mm] eine konvergente Folge reeller Zahlen
> mit Grenzwert [mm]a\![/mm]. Zeigen Sie:
>
>
> Die Folge [mm]\left(A_n\right)[/mm] mit [mm]\textstyle A_n := \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}[/mm]
> konvergiert ebenfalls gegen [mm]a\![/mm]."
Ich habe jetzt nochmal versucht eine Lösung für diese Aufgabe zu finden, komme aber nicht so ganz weiter...
Wenn [mm]a\![/mm] Grenzwert von [mm]\left(A_n\right)[/mm] ist, gilt doch [mm]\forall n\ge n_0[/mm]:
[mm]\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}-a\right| = \left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}-\frac{an}{n}\right|=\left|\sum_{i=1}^n{\frac{a_i}{n}}-\sum_{i=1}^n{\frac{a}{n}}\right|\le\sum_{i=1}^n{\frac{\left|a_i-a\right|}{n}}=\underbrace{\sum_{i=1}^{n_0-1}{\frac{\left|a_i-a\right|}{n}}}_{=:C}+\sum_{i=n_0}^n{\frac{\left|a_i-a\right|}{n}}.[/mm]
Da die Summe [mm]\textstyle\sum_{i=1}^{n_0-1}{\dots}[/mm] endlich ist, ist [mm]C\![/mm] konstant. Also gilt:
[mm]\sum_{i=1}^n{\frac{\left|a_i-a\right|}{n}} < C+\epsilon\cdot{}\frac{n-n_0+1}{n}.[/mm]
Und wäre da nicht dieses [mm]C\![/mm], wäre der Beweis jetzt fertig. Allerdings gilt ja gerade für mindestens einen der Summanden vor [mm]n_0[/mm], daß er größer [mm]\epsilon[/mm] ist. Also kann ich mit diesem Ansatz kein beliebig kleines [mm]C+\epsilon\cdot{}\tfrac{n-n_0+1}{n}=:\mu > 0[/mm] angeben, so daß die Abschätzung gilt, da [mm]\mu[/mm] nicht kleiner sein kann als [mm]C\![/mm]. Wie kann ich das lösen?
Danke für die Hilfe!
Grüße
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:53 Mo 07.07.2008 | | Autor: | Merle23 |
Pelzigs Beweis war bis auf eine Stelle richtig, und den Fehler hab ich korrigiert. Du musst es also bloß noch zusammensetzen (wobei ich zugeben muss, dass ich meine Korrektur nicht wirklich verständlich hingeschrieben hab - ich hatte jetzt selber Probleme es wieder zu kapieren ^^).
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Hallo Merle,
> Pelzigs Beweis war bis auf eine Stelle richtig, und den
> Fehler hab ich korrigiert. Du musst es also bloß noch
> zusammensetzen (wobei ich zugeben muss, dass ich meine
> Korrektur nicht wirklich verständlich hingeschrieben hab -
> ich hatte jetzt selber Probleme es wieder zu kapieren ^^).
Das war bei mir leider auch das Problem. Ich wußte nicht, wo ich da mit den Folgefragen anfangen sollte. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Ich denke aber, ich bin der Lösung jetzt ganz nahe. Halten wir mal mein letztes Ergebnis aus der vorigen Frage fest:
[mm]\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}-a\right| < \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n_0-1}{\left|a_i-a\right|} +\epsilon\cdot{}\frac{n-n_0+1}{n}.[/mm]
Da [mm]\textstyle\sum_{i=1}^{n_0-1}{\left|a_i-a\right|}[/mm] eine endliche Summe ist, ist [mm]\textstyle K:=\sum_{i=1}^{n_0-1}{\left|a_i-a\right|}[/mm] konstant. Also gilt [mm]\forall\epsilon > 0\;\exists n_1\in\mathbb{N}\;\forall n\ge n_1: \tfrac{K}{n}<\epsilon[/mm], richtig? Ok, sei nun [mm]n_2:=\max\left\{n_0,n_1\right\}[/mm], dann hätten wir schonmal:
[mm]\forall n \ge n_2:\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}-a\right| < \epsilon +\epsilon\left(1-\frac{n_0-1}{n}\right)[/mm]
Als nächstes [mm]\exists n_3\in\mathbb{N}\;\forall n\ge n_3: \tfrac{n_0-1}{n}<\epsilon[/mm]. Also gilt insgesamt für [mm]n_4 := \max\left\{n_0,\dotsc,n_3\right\}[/mm]:
[mm]\forall n \ge n_4:\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}-a\right| < \epsilon +\epsilon\left(1-\epsilon\right)[/mm]
Das blöde ist nur, was ist wenn [mm]\epsilon > 1[/mm] ist, ich meine, dann könnte der Term rechts negativ werden. Was mache ich nur? :-(
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:27 Di 08.07.2008 | | Autor: | pelzig |
> Ich denke aber, ich bin der Lösung jetzt ganz nahe. Halten
> wir mal mein letztes Ergebnis aus der vorigen Frage fest:
>
>
> [mm]\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}-a\right| < \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n_0-1}{\left|a_i-a\right|} +\epsilon\cdot{}\frac{n-n_0+1}{n}.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Da [mm]\textstyle\sum_{i=1}^{n_0-1}{\left|a_i-a\right|}[/mm] eine
> endliche Summe ist, ist [mm]\textstyle K:=\sum_{i=1}^{n_0-1}{\left|a_i-a\right|}[/mm]
> konstant. Also gilt [mm]\forall\epsilon > 0\;\exists n_1\in\mathbb{N}\;\forall n\ge n_1: \tfrac{K}{n}<\epsilon[/mm],
> richtig? Ok, sei nun [mm]n_2:=\max\left\{n_0,n_1\right\}[/mm], dann
> hätten wir schonmal:
>
>
> [mm]\forall n \ge n_2:\left|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{a_i}-a\right| < \epsilon +\epsilon\left(1-\frac{n_0-1}{n}\right)[/mm]
Ja hier bist du im Grunde schon fertig. Beachte dass du oBdA [mm] $n>n_0$ [/mm] annehmen darfst, damit ist [mm] $$\varepsilon\cdot\underbrace{\left(1-\frac{n_0+1}{n}\right)}_{\le 1}\le\varepsilon$$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:08 Di 08.07.2008 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo pelzig und Merle!
Danke nochmal für eure Hilfe!
Grüße
Karl
![[user]](/images/smileys/user.gif "[user]")
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