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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:37 Mi 13.05.2015 | | Autor: | Hias |
| Aufgabe | Hallo, ich muss mich momentan mit Tensoren beschäftigen. Leider hatten wir das nie in den Vorlesungen. Nun stoße ich auf sogenannte kontravariante antisymmetrische 2-Tensoren. Dabei ist der Tensor B in lokalen Koordinaten [mm] (z^1,....,z^n) [/mm] durch seine Matrixelemente [mm] B^{IJ}(z) [/mm] = [mm] B^{IJ} \bruch{\partial z^I}{\partial z^I} \bruch{\partial z^J}{\partial z^J} [/mm] wie folgt definiert.
[mm] B:T^{\*} [/mm] Px [mm] T^{\*} P\to \IR [/mm] mit B(z)(dF(z),dG(z)) = [mm] B^{IF} \bruch{\partial F}{\partial z^I} \bruch{\partial G}{\partial z^J} [/mm]
Wobei P eine Poissonmannigfaltigeit ist |
Ich habe das jetzt etwas abgekürzt, ich hoffe, dass man es trotzdem versteht. Eigentlich tauchen diese Tensoren im Zusammenhang von Hamiltonschen Vektorfeldern und Poissonmannigfaltigkeiten auf.
Was ich nicht ganz raus bekomme ist, was z.b: [mm] z^I [/mm] bzw [mm] z^J [/mm] überhaupt sein sollen. Sind das gewisse Basiselemente oder wie kann man das auffassen?
Wäre nett, wenn das jemand wüsste und mir erklären könnte.
Danke
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:21 Fr 15.05.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:21 Di 22.09.2015 | | Autor: | Richie1401 |
Leider zu spät, aber ich denke für Leute, die hier noch einmal reinschauen doch noch interessant.
> Hallo, ich muss mich momentan mit Tensoren beschäftigen.
> Leider hatten wir das nie in den Vorlesungen. Nun stoße
> ich auf sogenannte kontravariante antisymmetrische
> 2-Tensoren. Dabei ist der Tensor B in lokalen Koordinaten
> [mm](z^1,....,z^n)[/mm] durch seine Matrixelemente [mm]B^{IJ}(z)[/mm] =
> [mm]B^{IJ} \bruch{\partial z^I}{\partial z^I} \bruch{\partial z^J}{\partial z^J}[/mm]
Das stand so sicherlich nicht in deinem Buch, Aufzeichnungen, Skript,...
> wie folgt definiert.
> [mm]B:T^{\*}[/mm] Px [mm]T^{\*} P\to \IR[/mm] mit B(z)(dF(z),dG(z)) = [mm]B^{IF} \bruch{\partial F}{\partial z^I} \bruch{\partial G}{\partial z^J}[/mm]
> Wobei P eine Poissonmannigfaltigeit ist
> Ich habe das jetzt etwas abgekürzt, ich hoffe, dass man
> es trotzdem versteht. Eigentlich tauchen diese Tensoren im
> Zusammenhang von Hamiltonschen Vektorfeldern und
> Poissonmannigfaltigkeiten auf.
> Was ich nicht ganz raus bekomme ist, was z.b: [mm]z^I[/mm] bzw [mm]z^J[/mm]
> überhaupt sein sollen. Sind das gewisse Basiselemente oder
> wie kann man das auffassen?
> Wäre nett, wenn das jemand wüsste und mir erklären
> könnte.
>
> Danke
> Matthias
Hallo Matthias,
die Sache ist eigentlich ganz einfach. $I$ bezeichnet einfach ein Tupel. Hier in diesem Fall, soll das bestenfalls geordnet sein. Besser ist sogar noch folgende Schreibweise:
[mm] $I_k=(i_1,i_2,\ldots,i_k)$ [/mm] wobei eben [mm] $i_1
Durch solch eine Schreibweise lassen sich viele durchaus komplizierte Indix-Schreibweisen deutlich verkürzen. Es ist keine Frage: Verwirrend ist das schon.
Bsp.:
Jede k-Form [mm] \alpha [/mm] lässt sich wie folgt darstellen:
[mm] $\alpha=a_{I_k}e^{I_k}$, [/mm]
wobei [mm] $\{e^j\}$ [/mm] eine Basis in $V^*$, also die duale Basis von der Basis [mm] $\{e_i\}$ [/mm] des Vektorraumes $V$. Beachte auch die Summation über [mm] $I_k$.
[/mm]
Noch ein Beispiel:
Das wedge-Produkt kann wie folgt dargestellt werden:
[mm] $\underbrace{\alpha}_{(k)}\wedge\underbrace{\beta}_{(l)}=a_{I_k}\beta_{J_l}\varrho_{I_k,J_l}e^{I_k\cup J_l}$,
[/mm]
wobei [mm] $\varrho_{I_k,J_l}=(-1)^q$, [/mm] mit q ist die Zahl der Indexpaare [mm] $(i,j)\in I_k\times J_l$, [/mm] wo $i>j$ ist.
Ich empfehle dir, das ganze mal an einem Beispiel durchzurechnen. Du kannst z.B. [mm] \alpha [/mm] und [mm] \beta [/mm] als 2-Formen betrachten und mit den Indizes mal durchrechnen.
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