konservatives Kraftfeld < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:43 Sa 12.05.2007 | | Autor: | Phecda |
hi ... kann mir jmd helfen?
Gegeben ist ein Kraftfeld mit den Komponenten [mm] F_{1}=y/(x^2+y^2) [/mm] , [mm] F_{2}=-x/(x^2+y^2) [/mm] und [mm] F_{3}=0.
[/mm]
Die Frage ist: Berechnen sie [mm] \integral_{}^{}{F ds} [/mm] entlang eines kreisförmigen Weges mit dem Radius R und dem Ursprung als Mittelpunkt.
Zu erst hab ich das Kurvenstück parametrisiert.
[mm] \gamma(t)=\vektor{R*cos(t)\\ R*sin(t) \\ 0} [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le [/mm] 2*pi
ds ist dann weiter ausgerechnet ds = R*dt
nur jetzt weiß ich nicht mehr so recht was ich tun soll. Wie wandele ich jetzt dieses Integral in ein Riemanintegral um es zu bestimmen.
Danke für die Hilfe
mfg Phecda
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:27 Sa 12.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
sollen die [mm] F_i [/mm] die Komponenten von F in x,y,z Richtung sein?
dann ist mit Fds das Skalarprodukt von [mm] \vec{F} [/mm] und [mm] \vec{ds} [/mm] sein, und du kannst nicht einfach den Betrag ds nehmen. also rechne das Skalarprodukt aus [mm] (\vec{ds} [/mm] ist tangentia an den Kreis. und dann integrieren.
Wenn du das Feld mal längs der Kreislinie skizzierst, solltest du auch direkt "sehen" was rauskommt! denk dran auf dem Kreis [mm] x^2+y^2=R^2=const
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 So 13.05.2007 | | Autor: | Phecda |
hi F1, F2 und F3 sind die Kraftkomponenten von dem Kraftfeld. Man muss ja jetzt dieses Kurvenintegral berechnen. Das Kurvenstück parametrisiere ich nun anders:
[mm] \gamma(t)= \vektor{R*sin(t) \\ R*cos(t) \\ 0} [/mm]
mit x = R*sin(t), y = R*cos(t), z = 0.
[mm] d\vec{s} [/mm] ist doch jetzt die Ableitung vom [mm] \gamma(t)*dt
[/mm]
Dann muss ich doch das Skalarprodukt von [mm] \vec{F} [/mm] und [mm] d\vec{s} [/mm] bilden. (Vorher halt x,y,z mit den obigen Ausrdrücken ersetzen.)
Es kommt dann 1 als Integrant raus (Ergebnis des Skalarprodukts). Und weil ich von 0 [mm] \le [/mm] t [mm] \le 2*\pi [/mm] integriere kommt als Ergebnis der ganzen Rechnung [mm] 2*\pi [/mm] raus.
Ist dieses Ergebnis richtig?
Die Anleitung wie man solch ein Kurvenintegral berechnet hab ich in einem Mathebuch nachgeschlagen. So richtig verstanden hab ich jedoch nicht was die "integration eines vektorfeldes längs einer Kurve" ist.
Das Feld wäre doch auch nicht konservativ oder? wenn das Kurvenintegral von Null verschieden ist. Die Rotation von _vec{F} ist jedoch 0.
Ich würde mich freuen wenn jmd sich die Mühe amcht und das alles nachrechnet.. Würde mich auch freuen wenn jmd mir ganz viel dazu erklärt. (Autodidaktisch ist das mühsam).
Danke
MFG
Phecda
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:23 So 13.05.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo phecda
> hi F1, F2 und F3 sind die Kraftkomponenten von dem
> Kraftfeld. Man muss ja jetzt dieses Kurvenintegral
> berechnen. Das Kurvenstück parametrisiere ich nun anders:
> [mm]\gamma(t)= \vektor{R*sin(t) \\ R*cos(t) \\ 0}[/mm]
>
> mit x = R*sin(t), y = R*cos(t), z = 0.
> [mm]d\vec{s}[/mm] ist doch jetzt die Ableitung vom [mm]\gamma(t)*dt[/mm] genauer [mm]\gamma(t)'*dt[/mm]
> Dann muss ich doch das Skalarprodukt von [mm]\vec{F}[/mm] und
> [mm]d\vec{s}[/mm] bilden. (Vorher halt x,y,z mit den obigen
> Ausrdrücken ersetzen.)
> Es kommt dann 1 als Integrant raus (Ergebnis des
> Skalarprodukts). Und weil ich von 0 [mm]\le[/mm] t [mm]\le 2*\pi[/mm]
> integriere kommt als Ergebnis der ganzen Rechnung [mm]2*\pi[/mm]
> raus.
> Ist dieses Ergebnis richtig?
Ja!
Deshalb hab ich dir auch gesagt, du sollst dir [mm] \vec{F} [/mm] an einigen Punkten des Kreises einzeichnen!
Du weisst, dass bei konstantem [mm] \vec{F} [/mm] und geradem Weg die mit [mm] W=\vec{F}*\vec{s} [/mm] gerechnet wird, oder in Worten Kraft in Wegrichtung Mal Weg.
Wenn die Kraft jetzt nicht konstant ist ängs des Weges muss man den Weg in kleine Stücke [mm] \vec{ds} [/mm] unterteilen mit der jeweiligen Kraft [mm] \vec{F(s)} [/mm] multiplizieren und alles aufaddieren. Nichts anderes ist dieses "Wegintegral"
Wenn du jetzt [mm] \vec{F} [/mm] auf deinem Kreis einzeichnest siehst du, dass er immer tangential an den Kreis ist und überall gleich lang. d.h. genau, dass das Skalarprodukt konstant ist,
Dass [mm] rot\vec{F}=0 [/mm] gilt nur ausserhalb (0,0) dort existiert die Ableitung nicht! Das ist also genau der fall, den ich in der vorigen Diskussion erklärt habe: Damit das Feld kons. ist muss JEDES WEGINTEGRAL 0 sein und [mm] d.h.rot\vec{F} [/mm] überall=0.
dass [mm] rot\vec{F}=0 [/mm] ausserhalb von 0,0 heisst nur, dass jedes Wegintegral das die 0 nicht umkreist 0 ist. Probier es aus, geh auf einem Kreis mit R irgendein Stück, etwa von 0 bis [mm] \pi/2, [/mm] dann radial nach innen bis r und auf dem Kreis von [mm] \pi/2 [/mm] bis 0 zurück und wieder radial nach aussen. Das Integral ergibt 0.
Ein bissel klarer? (warum machst du das alles "autodidaktisch"?)
Gruss leduart
> Die Anleitung wie man solch ein Kurvenintegral berechnet
> hab ich in einem Mathebuch nachgeschlagen. So richtig
> verstanden hab ich jedoch nicht was die "integration eines
> vektorfeldes längs einer Kurve" ist.
>
> Das Feld wäre doch auch nicht konservativ oder? wenn das
> Kurvenintegral von Null verschieden ist. Die Rotation von
> _vec{F} ist jedoch 0.
>
> Ich würde mich freuen wenn jmd sich die Mühe amcht und das
> alles nachrechnet.. Würde mich auch freuen wenn jmd mir
> ganz viel dazu erklärt. (Autodidaktisch ist das mühsam).
> Danke
> MFG
> Phecda
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