konkreter Grenzw. einer Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man zeige: [mm] \frac{1+2+\ldots+n}{n^2} \rightarrow \frac{1}{2} [/mm] |
Hallo liebes Forum,
Bei der o.g. Aufgabe wäre ich auf einen falschen Grenzwert gekommen, wenn ich den richtigen Grenzwert vorher nicht gekannt hätte. Zunächst einmal die (recht einfache) Lösung:
Wegen [mm] 1+2+\ldots+n [/mm] = [mm] \frac{n(n+1)}{2} [/mm] gilt: [mm] \frac{1+2+\ldots+n}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{n(n+1)}{2}\cdot\frac{1}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{n^2+n}{2n^2} [/mm] = [mm] \frac{n^2\cdot(1+\frac{1}{n})}{n^2\cdot 2} \rightarrow \frac{1+0}{2} [/mm] = [mm] \frac{1}{2}.
[/mm]
Soweit, so gut. Ich wäre allerdings "naiv" angefangen und hätte [mm] n^2 [/mm] ausgeklammert. Also:
[mm] \frac{1+2+\ldots+n}{n^2} [/mm] = [mm] \frac{(\frac{1}{n^2} + \frac{2}{n^2} + \ldots + \frac{1}{n})\cdot n^2}{1\cdot n^2} \rightarrow \frac{0 + \ldots + 0}{1} [/mm] = 0.
Frage: Offensichtlich ist der zweite Ansatz nicht korrekt. Woran merke ich aber, daß ich so nicht vorgehen kann? Was ist der "Knackpunkt" dabei bzw. der Trick, es vorher zu erkennen?
Im Voraus schonmal vielen Dank für einen hilfreichen Hinweis 
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Hallo,
wenn Du in [mm] \frac{1}{n^2} [/mm] + [mm] \frac{2}{n^2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{1}{n}=\frac{1}{n^2} [/mm] + [mm] \frac{2}{n^2} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \frac{n}{n^2} [/mm] das n gegen [mm] \infty [/mm] gehen läßt, hast Du eine unendliche Summe von "sehr kleinen" Summanden.
das ist der Knackpunkt.
Gruß v. Angela
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