konjugiert < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Sa 27.09.2008 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | (a) Zu Zeigen:
Ist [mm] \rho=(a_1 a_2 [/mm] ... [mm] a_l) \in S_n [/mm] eine zyklische Permutation und ist [mm] \sigma \in S_n, [/mm] so ist
[mm] \sigma \circ \rho \circ \sigma^{-1} [/mm] = [mm] (\sigma(a_1) \sigma(a_2) [/mm] ... [mm] \sigma(a_l)),
[/mm]
insbesondere ist [mm] \sigma \circ \rho \circ \sigma^{-1} [/mm] zyklisch und hat dieselbe Ordnung wie [mm] \rho. [/mm] |
Hallo,
zuerst die Definition für konjugiert:
Zwei Elemente a und b einer Gruppe G heißen konjugiert, falls es ein Element c [mm] \in [/mm] G gibt, mit b=c a [mm] c^{-1}.
[/mm]
Ich weiß damit aber nicht weiter, wenn ich es einsetze hab ich folgendes:
[mm] \sigma \circ (a_1 a_2 [/mm] ... [mm] a_l) \circ \sigma^{-1} [/mm] = ... ??
Wie kann ich das verarbeiten um zur rechten Seite zu gelangen? Oder ist es gar besser von rechts anzufangen?
Danke für alle Tipps.
Viele Grüße,
Riley
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:03 Di 30.09.2008 | | Autor: | kittycat |
Hallo liebe Mathefreunde,
ja das würde mich irgendwie auch interessieren.
Wie kann man das zeigen? Da muss es doch einen kleinen Trick oder Satz oder so etwas geben.
*Please help*
Lg Kittycat
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:49 Di 30.09.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo Riley!
> (a) Zu Zeigen:
> Ist [mm]\rho=(a_1 a_2[/mm] ... [mm]a_l) \in S_n[/mm] eine zyklische Permutation und ist [mm]\sigma \in S_n,[/mm] so ist
> [mm]\sigma \circ \rho \circ \sigma^{-1}[/mm] = [mm](\sigma(a_1) \sigma(a_2) ... \sigma(a_l)),[/mm]
>
> insbesondere ist [mm]\sigma \circ \rho \circ \sigma^{-1}[/mm]
> zyklisch und hat dieselbe Ordnung wie [mm]\rho.[/mm]
> Hallo,
> zuerst die Definition für konjugiert:
> Zwei Elemente a und b einer Gruppe G heißen konjugiert,
> falls es ein Element c [mm]\in[/mm] G gibt, mit b=c a [mm]c^{-1}.[/mm]
>
> Ich weiß damit aber nicht weiter, wenn ich es einsetze hab
> ich folgendes:
>
> [mm]\sigma \circ (a_1 a_2[/mm] ... [mm]a_l) \circ \sigma^{-1}[/mm] = ... ??
>
> Wie kann ich das verarbeiten um zur rechten Seite zu
> gelangen? Oder ist es gar besser von rechts anzufangen?
Ich glaube, das ist nur eine Frage der richtigen Schreibweise. Die Zykelschreibweise
[mm]\rho=(a_1 a_2\dots a_l) [/mm]
bedeutet doch:
[mm] \rho(a_1) = a_2, \dots, \rho(a_l)=a_1 [/mm], also [mm] \rho(a_k) = \rho(a_{k+1}) [/mm].
Und damit ist
[mm]\sigma \circ \rho \circ \sigma^{-1}=(\sigma(a_1) \sigma(a_2) \dots \sigma(a_l))[/mm]
nichts anderes als
[mm] (\sigma \circ \rho \circ \sigma^{-1} ) (\sigma(a_k)) = \sigma(a_{k+1} ) [/mm]
Und das ergibt sich direkt durch Anwenden der drei Abbildungen.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:29 Mi 01.10.2008 | | Autor: | Riley |
Hi Rainer,
ah dankeschön, die Schreibweisen sind ja ganz schön verwirrend!
Viele Grüße,
Riley
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